Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = 2x + 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções lineares! A função que estamos analisando é . Vamos precisar entender conceitos de domínio, zeros da função, valores específicos como , e onde a função é positiva ou negativa. Também vamos desenhar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de no domínio da função que fazem . Isso significa que queremos resolver a equação:

Passo 3

Para resolver , vamos isolar o :
Portanto, o valor de que faz é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função quando , ou seja, . Substituindo na função:
Como conseguimos calcular , o ponto pertence ao eixo .

Passo 5

Vamos determinar onde a função é positiva e onde é negativa. Queremos encontrar os conjuntos e tais que:
  • Para todo ,
  • Para todo ,
Vamos analisar a expressão :
  • quando
  • quando
Então:

Passo 6

Por fim, vamos construir o gráfico da função . Como é uma função linear, seu gráfico será uma reta. Sabemos que:
  • A ordenada na origem (quando ) é , então o ponto está no gráfico.
  • O zero da função é em , ou seja, o ponto .
Com esses dois pontos, podemos desenhar a reta que representa a função.

Resposta

  • O valor de tal que é .
  • O valor da função em 0 é .
  • A função é positiva para e negativa para .
  • O gráfico é uma reta que passa pelos pontos e .

Exercícios relacionados

Utilizando as propriedades anteriores, mostre que
sen(x + pi) = -sen(x)
Utilizando as propriedades anteriores, calcule
sen(15 graus)
Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = -6 x.
No círculo trigonométrico, identifique os intervalos em que a função seno e cosseno crescem, e também os intervalos onde essas funções decrescem no intervalo de [0, 2 pi].