Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por sujeita a restrição , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o ponto onde a função atinge seu valor mínimo, dado que os valores de , e são positivos e satisfazem a restrição . Para resolver isso, vamos usar técnicas de desigualdade que a gente viu na aula, especialmente a desigualdade de AM-GM (Média Aritmética - Média Geométrica).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação pode ser simplificada dividindo 2 e 28 por 2, ficando . Multiplicando ambos os lados por 14, temos:
Então, nossa restrição é que o produto de , e seja 896.

Passo 3

Agora, vamos organizar a função . Para aplicar a desigualdade de AM-GM, precisamos que os coeficientes dos termos sejam iguais ou adaptados de alguma forma. Vamos reescrever a função para facilitar isso:
Agora, temos quatro termos: dois s, um e um .

Passo 4

A desigualdade de AM-GM nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Aplicando isso aos nossos quatro termos:
Simplificando a média aritmética:

Passo 5

Sabemos que , então podemos substituir na desigualdade:
Mas para simplificar, vamos igualar a média aritmética e a geométrica, que ocorre quando todos os termos são iguais:

Passo 6

Isso significa que:
Agora, substituímos e em termos de na restrição :

Passo 7

Resolvendo para :
(Observação: , mas como estamos simplificando, consideramos )

Passo 8

Agora que temos , encontramos e :

Resposta

O ponto de mínimo ocorre em e o valor mínimo da função é .

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