Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de
dada por
sujeita a restrição
, com
.
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o ponto onde a função
atinge seu valor mínimo, dado que os valores de
,
e
são positivos e satisfazem a restrição
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de desigualdade que a gente viu na aula, especialmente a desigualdade de AM-GM (Média Aritmética - Média Geométrica).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação
pode ser simplificada dividindo 2 e 28 por 2, ficando
. Multiplicando ambos os lados por 14, temos:
Então, nossa restrição é que o produto de
,
e
seja 896.
Passo 3
Agora, vamos organizar a função
. Para aplicar a desigualdade de AM-GM, precisamos que os coeficientes dos termos sejam iguais ou adaptados de alguma forma. Vamos reescrever a função para facilitar isso:
Agora, temos quatro termos: dois
s, um
e um
.
Passo 4
A desigualdade de AM-GM nos diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Aplicando isso aos nossos quatro termos:
Simplificando a média aritmética:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos substituir na desigualdade:
Mas para simplificar, vamos igualar a média aritmética e a geométrica, que ocorre quando todos os termos são iguais:
Passo 6
Isso significa que:
Agora, substituímos
e
em termos de
na restrição
:
Passo 7
Resolvendo para
:
(Observação:
, mas como estamos simplificando, consideramos
)
Passo 8
Agora que temos
, encontramos
e
:
Resposta
O ponto de mínimo ocorre em
e o valor mínimo da função é
.
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