Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
f: R^2 -> R dada por f(x, y) = x^2 + y^2 sujeita a restrição x + y = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função com a condição de que . O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática para otimizar funções sujeitas a restrições. Basicamente, a gente vai encontrar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos enquanto respeita a restrição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que incorpora a restrição. Essa função é dada por:
No nosso caso, a restrição é . Então, a Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos derivar a Lagrangiana em relação a , e , e igualar essas derivadas a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
As derivadas são:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (4) e (5):

Passo 5

Agora, usamos a equação da restrição (3):
Como , substituímos:
Então, .

Passo 6

Com esses valores de e , podemos calcular o valor da função :

Resposta

O ponto de mínimo da função sujeito à restrição é , com o valor mínimo de igual a 12,5.

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