Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
com a condição de que
. O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática para otimizar funções sujeitas a restrições. Basicamente, a gente vai encontrar onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos enquanto respeita a restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que incorpora a restrição. Essa função é dada por:
No nosso caso, a restrição é
. Então, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos derivar a Lagrangiana em relação a
,
e
, e igualar essas derivadas a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
As derivadas são:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (4) e (5):
Passo 5
Agora, usamos a equação da restrição (3):
Como
, substituímos:
Então,
.
Passo 6
Com esses valores de
e
, podemos calcular o valor da função
:
Resposta
O ponto de mínimo da função
sujeito à restrição
é
, com o valor mínimo de
igual a 12,5.
Exercícios relacionados
O potencial elétrico
é modelado pela função
. Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto .
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por
sujeita a restrição
, com
.
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
(a) Determine a relação entre
e
.
(b) Mostre que a relação entre e
, é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução , com
, é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.
(b) Mostre que a relação entre
© Conclua que toda solução
(d) Mostre que se a derivada de
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa: