Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por sujeita a restrição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função com a condição de que . O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática para otimizar funções sujeitas a restrições. Basicamente, a gente vai encontrar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos enquanto respeita a restrição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que incorpora a restrição. Essa função é dada por:
No nosso caso, a restrição é . Então, a Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos derivar a Lagrangiana em relação a , e , e igualar essas derivadas a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
As derivadas são:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (4) e (5):

Passo 5

Agora, usamos a equação da restrição (3):
Como , substituímos:
Então, .

Passo 6

Com esses valores de e , podemos calcular o valor da função :

Resposta

O ponto de mínimo da função sujeito à restrição é , com o valor mínimo de igual a 12,5.

Exercícios relacionados

O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto .
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por sujeita a restrição , com .
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
(a) Determine a relação entre e .
(b) Mostre que a relação entre e , é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução , com , é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo , então com em , será solução da equação.
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa: