Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
com a condição de que
. O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática para otimizar funções sujeitas a restrições. Basicamente, a gente vai encontrar onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos enquanto respeita a restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que incorpora a restrição. Essa função é dada por:
No nosso caso, a restrição é
. Então, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos derivar a Lagrangiana em relação a
,
e
, e igualar essas derivadas a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
As derivadas são:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (4) e (5):
Passo 5
Agora, usamos a equação da restrição (3):
Como
, substituímos:
Então,
.
Passo 6
Com esses valores de
e
, podemos calcular o valor da função
:
Resposta
O ponto de mínimo da função
sujeito à restrição
é
, com o valor mínimo de
igual a 12,5.