O potencial elétrico
é modelado pela função
. Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto
.
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa o potencial elétrico, dada por . O objetivo é calcular o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como encontrar seu valor máximo utilizando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do produto:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Simplificando:
E para
:
Passo 6
O gradiente no ponto
é então:
A derivada direcional em uma direção qualquer
é dada por:
Para encontrar o valor máximo dessa derivada, precisamos encontrar a magnitude do gradiente, já que o máximo ocorre na direção do gradiente.
Passo 7
Calculamos a magnitude do gradiente:
Portanto, o valor máximo da derivada direcional no ponto
é
.
Resposta
O valor máximo da derivada direcional no ponto
é
.