O potencial elétrico
é modelado pela função
. Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto
.
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa o potencial elétrico, dada por . O objetivo é calcular o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como encontrar seu valor máximo utilizando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do produto:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Simplificando:
E para
:
Passo 6
O gradiente no ponto
é então:
A derivada direcional em uma direção qualquer
é dada por:
Para encontrar o valor máximo dessa derivada, precisamos encontrar a magnitude do gradiente, já que o máximo ocorre na direção do gradiente.
Passo 7
Calculamos a magnitude do gradiente:
Portanto, o valor máximo da derivada direcional no ponto
é
.
Resposta
O valor máximo da derivada direcional no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo, faça o que se pede:
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de dada por
sujeita a restrição
, com
.
Observação: você pode usar as técnicas de desigualdade vistas em sala, sem o uso da teoria do cálculo.
Ache o ponto de mínimo e o valor mínimo de
O potencial elétrico
é modelado pela função
. Responda as questões a seguir
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico no ponto
na direção
Encontre a taxa de variação do potencial elétrico
Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre os pontos de máximo/mínimo das funções a seguir:
dada por
sujeita a restrição
.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
(a) Determine a relação entre
e
.
(b) Mostre que a relação entre e
, é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução , com
, é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.
(b) Mostre que a relação entre
© Conclua que toda solução
(d) Mostre que se a derivada de