O potencial elétrico é modelado pela função . Responda as questões a seguir
Calcule o valor máximo da derivada direcional no ponto .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa o potencial elétrico, dada por . O objetivo é calcular o valor máximo da derivada direcional dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como encontrar seu valor máximo utilizando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos encontrar essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra do produto:

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico :
Simplificando:
E para :

Passo 6

O gradiente no ponto é então:
A derivada direcional em uma direção qualquer é dada por:
Para encontrar o valor máximo dessa derivada, precisamos encontrar a magnitude do gradiente, já que o máximo ocorre na direção do gradiente.

Passo 7

Calculamos a magnitude do gradiente:
Portanto, o valor máximo da derivada direcional no ponto é .

Resposta

O valor máximo da derivada direcional no ponto é .

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dada por sujeita a restrição .
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(a) Determine a relação entre e .
(b) Mostre que a relação entre e , é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução , com , é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo , então com em , será solução da equação.