Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função quando se aproxima de não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, onde a gente verifica se o valor se aproxima de um único número independente do caminho que a gente toma para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite exista, ele tem que ser o mesmo independente de como nos aproximamos do ponto . Ou seja, o valor do limite não pode mudar se a gente aproxima pelo eixo x, pelo eixo y, ou por qualquer outra trajetória.

Passo 3

Vamos testar dois caminhos diferentes para aproximar f(x, 0) = x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 e ver se o limite é o mesmo em ambos.
Caminho 1: Aproximar pelo eixo x (y = 0).
Se , a função fica:
Então, ao se aproximar pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Caminho 2: Aproximar pelo eixo y (x = 0).
Se f(0, y) = 0^2 - y^20^2 + y^2 = -y^2y^2 = -1 , a função fica:
Então, ao se aproximar pelo eixo y, o limite é -1.

Passo 5

Vimos que ao se aproximar pelo eixo x, o limite deu 1, e pelo eixo y deu -1. Como esses valores são diferentes, isso mostra que o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a valores de limite distintos.

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x y|x y|
Utilizando a linearização, prove que:
a) (1+x)^{k} aprox 1+k x, x -> 0
b) sen(x) ≈ x, x → 0
c) e^x ≈ 1 + x, x → 0
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^9 y(x^6+y^2)^2