Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, onde a gente verifica se o valor se aproxima de um único número independente do caminho que a gente toma para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Para que o limite
exista, ele tem que ser o mesmo independente de como nos aproximamos do ponto
. Ou seja, o valor do limite não pode mudar se a gente aproxima pelo eixo x, pelo eixo y, ou por qualquer outra trajetória.
Passo 3
Vamos testar dois caminhos diferentes para aproximar
e ver se o limite é o mesmo em ambos.
Caminho 1: Aproximar pelo eixo x (y = 0).
Se
, a função fica:
Então, ao se aproximar pelo eixo x, o limite é 1.
Passo 4
Caminho 2: Aproximar pelo eixo y (x = 0).
Se
, a função fica:
Então, ao se aproximar pelo eixo y, o limite é -1.
Passo 5
Vimos que ao se aproximar pelo eixo x, o limite deu 1, e pelo eixo y deu -1. Como esses valores são diferentes, isso mostra que o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
.
Resposta
O limite
não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a valores de limite distintos.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Utilizando a linearização, prove que:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde