Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Isso está ligado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para fazer isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde f(x, 0) = x^4 + 3x^2(0)^2 + 2x(0)^3(x^2 + 0^2)^2 = x^4x^4 = 1 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de por , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caminho onde f(0, y) = 0^4 + 3(0)^2y^2 + 2(0)y^3(0^2 + y^2)^2 = 0y^4 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de por , o limite é 0.

Passo 4

Já que ao seguir os caminhos e a função tende a valores diferentes (1 e 0, respectivamente), isso indica que o limite depende do caminho escolhido. Portanto, a função não tem um único limite quando se aproxima de .

Resposta

O limite da função quando se aproxima de não existe.

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f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x y|x y|
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f(x, y)=x^9 y(x^6+y^2)^2
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x cos (1x^2+y^2)