Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^9 y(x^6+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função quando se aproxima de não existe. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir, ele deve ter o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto. Então, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e verificar se obtemos valores diferentes.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde f(x, 0) = x^9 cdot 0(x^6 + 0^2)^2 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caminho, digamos f(x, x^3) = x^9 cdot x^3(x^6 + (x^3)^2)^2 = x^12(x^6 + x^6)^2 = x^12(2x^6)^2 = x^124x^12 = 14 . Substituindo por :
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 5

Vemos que ao longo do eixo o limite é 0, e ao longo de o limite é . Como esses dois limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x cos (1x^2+y^2)
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x^2 y+x y^2x^2+y^2