Quais das funções abaixo possuem o mesmo conjunto imagem da função de expressão f(x) = x^2 + 2, x in (-2, 1].
g(x)=-2x, x in (-2,-1]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem duas funções e precisa ver se elas têm o mesmo conjunto imagem. A primeira função é com e a segunda é com . Vamos usar conceitos de funções e seus intervalos de imagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem da função no intervalo dado. A função é uma parábola que abre pra cima, então o valor mínimo ocorre no vértice.
  • Valor mínimo de :
    Quando , .
  • Valores nos extremos do intervalo:
    • Em :
    • Em :
Como a parábola está no intervalo , a imagem de vai de 2 até 6. Porém, como está fora do intervalo (porque é um intervalo aberto à esquerda), o valor 6 não está incluído. Então, a imagem de é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no intervalo .
  • Valores nos extremos do intervalo:
    • Em :
    • Em :
A função é uma função linear decrescente. Então, conforme aumenta no intervalo de (-2, -1], diminui de 4 para 2.
Assim, a imagem de é .

Passo 4

Agora, vamos comparar as imagens das duas funções:
  • Imagem de :
  • Imagem de :
Vemos que as imagens não são iguais porque os valores máximos são diferentes: chega até 6 (não incluído) e só vai até 4 (incluído).

Resposta

Nenhuma das funções apresentadas possui o mesmo conjunto imagem que a função no intervalo dado.

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