Um projétil é lançado do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura y(t) em metros, dada por y(t) = 40t - 5t^2.
Esboce o gráfico da função que representa a altura do projétil, para 0 <= t <= 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um projétil que foi lançado para cima e quer esboçar o gráfico da altura dele ao longo do tempo. A função que descreve essa altura é . Nós vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para resolver isso, como identificar pontos importantes no gráfico e entender o formato da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa é uma função do segundo grau, também conhecida como função quadrática. O gráfico dela é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo (-5), a parábola vai abrir para baixo, ou seja, tem um ponto mais alto, que é o vértice.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde o projétil está no solo, ou seja, quando a altura é zero. Para isso, resolvemos a equação:
Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções:
e
Então, o projétil está no solo nos instantes segundos e segundos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o tempo em que o projétil atinge a altura máxima. Isso ocorre no vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Na nossa função , temos e . Substituindo:
Então, o projétil atinge a altura máxima aos 4 segundos.

Passo 5

Vamos calcular a altura máxima substituindo na função:
Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil é de 80 metros.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • No tempo , a altura é 0 metros.
  • No tempo , a altura é 80 metros (ponto mais alto).
  • No tempo , a altura volta a ser 0 metros.
A parábola começa no ponto (0,0), sobe até o vértice em (4,80) e desce novamente até (8,0). O gráfico será uma arco de parábola que abre para baixo, passando por esses três pontos-chave.

Resposta

O gráfico da função para é uma parábola que começa em (0,0), atinge o ponto mais alto em (4,80) e retorna ao solo em (8,0).

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