Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
x^2/(x+3) > 4/(x+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com inequações racionais, que são frações envolvendo polinômios. Para resolver esse tipo de inequação, precisamos lembrar como trabalhar com desigualdades e frações.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como manipular desigualdades envolvendo frações, identificar onde o denominador muda o sinal e considerar todos os casos possíveis para encontrar os valores de que satisfazem a inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação. Como ambos os lados têm o denominador , podemos subtrair de ambos os lados para obter:
Isso simplifica para:
Explicação: Subtrair uma fração de outra com o mesmo denominador é como subtrair os numeradores e manter o denominador.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador :
Então, a inequação fica:
Explicação: Reconhecemos que é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada nesse formato.

Passo 4

Para resolver a inequação , precisamos identificar os intervalos onde a expressão é positiva. Isso depende dos sinais de cada fator: , , e .
Os pontos críticos são onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Produto: Negativo × Negativo ÷ Negativo = Negativo
  2. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: Negativo × Negativo ÷ Positivo = Positivo
  3. Para :
    • é negativo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: Negativo × Positivo ÷ Positivo = Negativo
  4. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: Positivo × Positivo ÷ Positivo = Positivo

Passo 6

Estamos procurando onde a expressão é maior que zero (positiva). Pelo passo anterior, isso acontece nos intervalos:
Lembrando que não pode ser igual a porque o denominador se anula nesse ponto.

Resposta

A solução da inequação é:

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