Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com inequações racionais, que são frações envolvendo polinômios. Para resolver esse tipo de inequação, precisamos lembrar como trabalhar com desigualdades e frações.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como manipular desigualdades envolvendo frações, identificar onde o denominador muda o sinal e considerar todos os casos possíveis para encontrar os valores de
que satisfazem a inequação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a inequação. Como ambos os lados têm o denominador
, podemos subtrair
de ambos os lados para obter:
Isso simplifica para:
Explicação: Subtrair uma fração de outra com o mesmo denominador é como subtrair os numeradores e manter o denominador.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o numerador
:
Então, a inequação fica:
Explicação: Reconhecemos que
é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada nesse formato.
Passo 4
Para resolver a inequação
, precisamos identificar os intervalos onde a expressão é positiva. Isso depende dos sinais de cada fator:
,
, e
.
Os pontos críticos são onde cada fator é zero:
-
→ -
→ -
→
Esses pontos dividem a linha dos números em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Produto: Negativo × Negativo ÷ Negativo = Negativo
-
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Produto: Negativo × Negativo ÷ Positivo = Positivo
-
-
Para
: -
é negativo -
é positivo -
é positivo - Produto: Negativo × Positivo ÷ Positivo = Negativo
-
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Produto: Positivo × Positivo ÷ Positivo = Positivo
-
Passo 6
Estamos procurando onde a expressão é maior que zero (positiva). Pelo passo anterior, isso acontece nos intervalos:
Lembrando que
não pode ser igual a
porque o denominador se anula nesse ponto.
Resposta
A solução da inequação é: