Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida por
. A missão aqui é descobrir se essa função é bijetiva, ou seja, se ela é tanto injetora (cada elemento no domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) quanto sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos por algum elemento do domínio). Se for bijetiva, a gente também precisa encontrar a função inversa dela. Se não for, precisa dar um exemplo que mostre que não é bijetiva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
.
Olha só:
. A função raiz quinta é uma função crescente, o que significa que se
, então
. Isso garante que não pode ter dois valores diferentes de
que produzam o mesmo valor de
. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no contradomínio, existe pelo menos um
no domínio tal que
.
No nosso caso, queremos resolver
para
. Elevando ambos os lados à quinta potência, temos
, o que leva a
. Como toda potência de um número real é real, isso significa que para qualquer
, existe um
que satisfaz
. Logo, a função é sobrejetora.
Passo 4
Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetiva. Agora, vamos encontrar a função inversa. Para isso, vamos resolver a equação
para
:
Então, a função inversa
é dada por:
Resposta
A função é bijetiva e sua inversa é
.
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Mostre que a inversa da inversa de
é a própria
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Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
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