Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por . A missão aqui é descobrir se essa função é bijetiva, ou seja, se ela é tanto injetora (cada elemento no domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) quanto sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos por algum elemento do domínio). Se for bijetiva, a gente também precisa encontrar a função inversa dela. Se não for, precisa dar um exemplo que mostre que não é bijetiva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que .
Olha só: . A função raiz quinta é uma função crescente, o que significa que se , então . Isso garante que não pode ter dois valores diferentes de que produzam o mesmo valor de . Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no contradomínio, existe pelo menos um no domínio tal que .
No nosso caso, queremos resolver para . Elevando ambos os lados à quinta potência, temos , o que leva a . Como toda potência de um número real é real, isso significa que para qualquer , existe um que satisfaz . Logo, a função é sobrejetora.

Passo 4

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetiva. Agora, vamos encontrar a função inversa. Para isso, vamos resolver a equação para :
Então, a função inversa é dada por:

Resposta

A função é bijetiva e sua inversa é .

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Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .
Mostre que a inversa da inversa de é a própria .
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .
Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .