Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é bijetiva, ou seja, se ela é injetora e sobrejetora. Se for bijetiva, temos que provar isso e encontrar a função inversa. Se não for, precisamos dar um exemplo que mostre que ela não é bijetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser injetora e sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, cada valor de saída tem apenas uma entrada correspondente.
Considerando :
Se , então .
Isso significa que:
O segundo caso nos mostra que existem dois valores diferentes de que resultam no mesmo valor de . Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
Aqui, mas , o que mostra que a função não é injetora.

Passo 3

Como a função já não é injetora, não precisamos verificar a sobrejetividade para concluir se ela é bijetiva. Porém, para completar:
A função é sobrejetora se todo valor em tem pelo menos uma preimagem em .
Mas, como vimos que não é injetora, a função não é bijetiva.

Resposta

A função não é bijetiva. Por exemplo, e , mas , mostrando que a função não é injetora.

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