Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é bijetiva, ou seja, se ela é injetora e sobrejetora. Se for bijetiva, temos que provar isso e encontrar a função inversa. Se não for, precisamos dar um exemplo que mostre que ela não é bijetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Ou seja, cada valor de saída tem apenas uma entrada correspondente.
Considerando
:
Se
, então
.
Isso significa que:
-
⇒ -
⇒
O segundo caso nos mostra que existem dois valores diferentes de
que resultam no mesmo valor de
. Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então
Aqui,
mas
, o que mostra que a função não é injetora.
Passo 3
Como a função já não é injetora, não precisamos verificar a sobrejetividade para concluir se ela é bijetiva. Porém, para completar:
A função é sobrejetora se todo valor em
tem pelo menos uma preimagem em
.
Mas, como vimos que não é injetora, a função
não é bijetiva.
Resposta
A função
não é bijetiva. Por exemplo,
e
, mas
, mostrando que a função não é injetora.
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