Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por , onde . O objetivo é verificar se essa função é bijetiva. Se for, devemos provar isso e encontrar a função inversa. Caso contrário, precisamos fornecer um contraexemplo que mostre que ela não é bijetiva.
Matéria envolvida: Funções bijetivas, injeção, sobrejeção e função inversa.
O que vamos precisar: Entender os conceitos de função injetora e sobrejetora para determinar se a função é bijetiva, e como encontrar a inversa caso seja.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser injetora e sobrejetora.
  • Injetora (ou injeção): Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de partida ( ) é mapeado para um elemento único no conjunto de chegada ( ). Isso significa que não há dois valores diferentes de que resultem no mesmo .
  • Sobrejetora (ou sobrejeção): Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( ) é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida ( ).
Uma função é bijetiva se ela for simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora.
Para que seja injetora, precisamos garantir que se , então .
Vamos supor que :
Isso implica que:
  1. Se , então .
  2. Se , então , o que leva a .
No entanto, como e são elementos de (números reais positivos), a soma não pode ser negativa. Portanto, a segunda possibilidade não ocorre.
Isso significa que , portanto, a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora.
Para ser sobrejetora, todo número real em deve ter pelo menos um em tal que .
Vamos resolver :
Isso implica que:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Como deve ser positivo ( ):
  • Na primeira equação, deve ser maior ou igual a 0, ou seja, .
  • Na segunda equação, seria negativo, o que não é possível, já que deve ser positivo.
Portanto, apenas valores de maiores ou iguais a 1 são atingidos pela função . Isso significa que a função não é sobrejetora, pois existem valores em (por exemplo, ) que não são alcançados por nenhum em .

Passo 5

Como a função é injetora mas não é sobrejetora, concluímos que ela não é bijetiva.

Resposta

A função definida de para não é bijetiva, pois não é sobrejetora. Um contraexemplo é , que não possui nenhum em tal que .

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