Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
, onde
. O objetivo é verificar se essa função é bijetiva. Se for, devemos provar isso e encontrar a função inversa. Caso contrário, precisamos fornecer um contraexemplo que mostre que ela não é bijetiva.
Matéria envolvida: Funções bijetivas, injeção, sobrejeção e função inversa.
O que vamos precisar: Entender os conceitos de função injetora e sobrejetora para determinar se a função é bijetiva, e como encontrar a inversa caso seja.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma função ser injetora e sobrejetora.
-
Injetora (ou injeção): Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de partida (
) é mapeado para um elemento único no conjunto de chegada ( ). Isso significa que não há dois valores diferentes de que resultem no mesmo . -
Sobrejetora (ou sobrejeção): Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
) é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida ( ).
Uma função é bijetiva se ela for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é injetora.
Para que seja injetora, precisamos garantir que se
, então
.
Vamos supor que
:
Isso implica que:
- Se
, então . - Se
, então , o que leva a .
No entanto, como
e
são elementos de
(números reais positivos), a soma
não pode ser negativa. Portanto, a segunda possibilidade não ocorre.
Isso significa que
, portanto, a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora.
Para ser sobrejetora, todo número real
em
deve ter pelo menos um
em
tal que
.
Vamos resolver
:
Isso implica que:
- Se
, então . - Se
, então .
Como
deve ser positivo (
):
- Na primeira equação,
deve ser maior ou igual a 0, ou seja, . - Na segunda equação,
seria negativo, o que não é possível, já que deve ser positivo.
Portanto, apenas valores de
maiores ou iguais a 1 são atingidos pela função
. Isso significa que a função não é sobrejetora, pois existem valores em
(por exemplo,
) que não são alcançados por nenhum
em
.
Passo 5
Como a função
é injetora mas não é sobrejetora, concluímos que ela não é bijetiva.
Resposta
A função
definida de
para
não é bijetiva, pois não é sobrejetora. Um contraexemplo é
, que não possui nenhum
em
tal que
.
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