Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Nos perguntam se a função é bijetiva. Isso envolve verificar se a função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de como encontrar a função inversa quando for o caso.

Passo 2

Primeiro, observamos que representa os números reais positivos, ou seja, . A função dada é . Como , então , e o valor absoluto não altera o resultado. Portanto, a função simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para cada e no domínio, implica que . Nossa função é linear e crescente, o que garante que ela seja injetora.

Passo 4

Em seguida, verificamos se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio. A imagem da nossa função é , que para resulta em . Portanto, qualquer número positivo menor que 1, como 0.5, não está na imagem da função. Isso significa que a função não é sobrejetora.

Passo 5

Como a função não é sobrejetora, ela também não é bijetora. Portanto, não existe uma função inversa que satisfaça essa condição para todo o .

Resposta

A função não é bijetiva. Um contraexemplo é , que não pertence à imagem de .

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