Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Nos perguntam se a função
é bijetiva. Isso envolve verificar se a função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de como encontrar a função inversa quando for o caso.
Passo 2
Primeiro, observamos que
representa os números reais positivos, ou seja,
. A função dada é
. Como
, então
, e o valor absoluto não altera o resultado. Portanto, a função simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, para cada
e
no domínio,
implica que
. Nossa função
é linear e crescente, o que garante que ela seja injetora.
Passo 4
Em seguida, verificamos se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio
é atingido por algum elemento do domínio. A imagem da nossa função é
, que para
resulta em
. Portanto, qualquer número positivo menor que 1, como 0.5, não está na imagem da função. Isso significa que a função não é sobrejetora.
Passo 5
Como a função não é sobrejetora, ela também não é bijetora. Portanto, não existe uma função inversa que satisfaça essa condição para todo o
.
Resposta
A função
não é bijetiva. Um contraexemplo é
, que não pertence à imagem de
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