Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me passou. A questão pede para a gente verificar se a função
é bijetiva. Se for, precisamos provar e encontrar a função inversa. Se não for, devemos fornecer um contraexemplo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de função injetora, sobrejetora e bijetora, além de como a função piso
funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser bijetiva. Uma função é bijetiva se ela é injetora (ou seja, cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (ou seja, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio).
Passo 3
Vamos testar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, para quaisquer
e
no domínio,
implica que
.
Considere
e
. Calculando:
Aqui,
, mas
. Isso mostra que a função não é injetora, pois dois valores diferentes no domínio resultam no mesmo valor no contradomínio.
Passo 4
Como a função
não é injetora, ela automaticamente não pode ser bijetora, já que bijetividade exige que a função seja simultaneamente injetora e sobrejetora. Não precisamos verificar a sobrejetividade nesse caso, já que a falta de injetividade já desqualifica a função como bijetora.
Resposta
A função
não é bijetiva. Por exemplo,
, demonstrando que a função não é injetora.
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Considere a seguinte situação: um garçom que marca na comanda do cliente um traço a cada bebida servida. Este garçom faz uma associação entre cada bebia pedida com um traço em um papel. Esta situação pode ser associada com uma função? Se sim ela é bijetora?