Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo.
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função
, definida por
, é bijetiva. Uma função é bijetiva se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são alcançados pela função). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para verificar se a função é estritamente crescente ou decrescente, o que ajudará a determinar se ela é injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
. Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa para todo
em
, a função será estritamente crescente ou decrescente, respectivamente, e, portanto, injetora.
Observando os termos:
-
é sempre positivo ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par é não negativo. -
é sempre negativo ou zero. -
é uma constante positiva aproximadamente igual a 1,414.
Passo 4
Vamos verificar se a derivada pode ser igual a zero ou negativa. Considerando que
cresce muito mais rápido que
, para grandes valores de
, a derivada será positiva. No entanto, para valores menores de
, especialmente perto de zero, o termo
pode fazer com que a derivada seja negativa.
Por exemplo, se
:
Mas se considerarmos
próximo de 0.65, a derivada pode se tornar negativa:
Passo 5
Como a derivada
pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de
, isso significa que a função
não é estritamente crescente nem decrescente em todo o seu domínio. Portanto, a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetiva.
Resposta
A função
não é bijetiva. Um contraexemplo é que para
e
, temos
e
, demonstrando que a função não é injetora.
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