Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função , definida por , é bijetiva. Uma função é bijetiva se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são alcançados pela função). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para verificar se a função é estritamente crescente ou decrescente, o que ajudará a determinar se ela é injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa para todo em , a função será estritamente crescente ou decrescente, respectivamente, e, portanto, injetora.
Observando os termos:
  • é sempre positivo ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par é não negativo.
  • é sempre negativo ou zero.
  • é uma constante positiva aproximadamente igual a 1,414.

Passo 4

Vamos verificar se a derivada pode ser igual a zero ou negativa. Considerando que cresce muito mais rápido que , para grandes valores de , a derivada será positiva. No entanto, para valores menores de , especialmente perto de zero, o termo pode fazer com que a derivada seja negativa.
Por exemplo, se :
(positivo)
Mas se considerarmos próximo de 0.65, a derivada pode se tornar negativa:
(negativo)

Passo 5

Como a derivada pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de , isso significa que a função não é estritamente crescente nem decrescente em todo o seu domínio. Portanto, a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetiva.

Resposta

A função não é bijetiva. Um contraexemplo é que para e , temos e , demonstrando que a função não é injetora.

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