Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=(tg(x))^2, x0=0. (Use a regra de multiplicação e a derivada de tg(x).)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada da função tangente.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função f(x) = tg(x) cdot tg(x) como o produto de duas funções iguais:
Isso facilita a aplicação da regra do produto.

Passo 3

A regra do produto diz que a derivada de f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) é:
f'(x) = tg'(x) cdot tg(x) + tg(x) cdot tg'(x)
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
f'(x) = 2 cdot tg(x) cdot tg'(x)
Isso porque ambos os termos são iguais.

Passo 5

Sabemos que a derivada da tangente é:
tg'(x) = sec^2(x)
E no ponto sec(0) = 1 então sec^2(0) = 1 :
tg'(0) = 1 ã
Portanto:

Passo 6

Agora, avaliamos tg(0) = 0 :

Passo 7

Substituindo os valores na expressão da derivada:
f'(0) = 2 cdot tg(0) cdot tg'(0) = 2 cdot 0 cdot 1 = 0

Resposta

A derivada de no ponto é 0.

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