As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos uma função que vai do intervalo para . A matéria aqui é sobre funções inversas. O que precisamos descobrir é se dá para inverter essa função e, se der, como fica essa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a inversa de uma função é outra função que “desfaz” o que faz. Ou seja, se você aplicar e depois , você volta ao ponto de partida.

Passo 3

Para que uma função tenha inversa, ela precisa ser bijetora. Isso significa que ela tem que ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobretida (cobre todo o contradomínio). Vamos ver se satisfaz isso no intervalo dado.

Passo 4

A função no intervalo é injetora porque cada valor de dentro desse intervalo produz um único valor de que está em , sem repetições. Além disso, ela é sobretida porque todo número em pode ser obtido dividindo 1 por algum número em .

Passo 5

Como a função é bijetora, ela tem inversa. Para encontrar a inversa, trocamos por e resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Passo 6

Portanto, a inversa de é:

Resposta

Sim, é possível definir a função inversa. A função inversa é para todo em .

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(d) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
© .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(g) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(h) .