As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A gente tem uma função definida por
, onde
. O que a gente precisa fazer é ver se dá para definir a função inversa dessa função, ou seja, se existe
, e se sim, escrever essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa
“desfaz” o que a função
faz. Ou seja, se
, então
. Para que uma função inversa exista, a função original precisa ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora (cada entrada tem uma única saída) e sobrejetora (cada saída corresponde a alguma entrada).
Passo 3
Vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. No nosso caso, como estamos trabalhando com
(números naturais), cada número tem um quadrado único. Por exemplo,
e não tem outro número natural que, ao ser quadrado, dê 4. Então,
é injetora.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Isso quer dizer que para todo
em
, existe algum
em
tal que
. Mas, nem todo número real é um quadrado de um número natural. Por exemplo,
não é o quadrado de nenhum número natural. Portanto,
não é sobrejetora.
Passo 5
Como a função
é injetora, mas não é sobrejetora, ela não é bijetora. Isso significa que a função inversa
não existe para todo
, mas podemos definir uma inversa parcialmente, restrita ao conjunto imagem de
(ou seja, aos quadrados perfeitos dos números naturais).
Passo 6
Então, podemos definir a função inversa
da seguinte maneira:
Mas é importante notar que isso só faz sentido para
que são quadrados perfeitos de números naturais. Para outros valores de
, a função inversa não está definida.
Resposta
Sim, é possível definir a função inversa
restrita aos quadrados perfeitos. A definição da inversa é:
desde que
seja um quadrado perfeito de algum número natural.
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em caso afirmativo escreva a definição.
(f) .
(f)
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em caso afirmativo escreva a definição.
(d) .
(d)
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em caso afirmativo escreva a definição.
(h) .
(h)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(j) .
(j)