As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A gente tem uma função definida por , onde . O que a gente precisa fazer é ver se dá para definir a função inversa dessa função, ou seja, se existe , e se sim, escrever essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa “desfaz” o que a função faz. Ou seja, se , então . Para que uma função inversa exista, a função original precisa ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora (cada entrada tem uma única saída) e sobrejetora (cada saída corresponde a alguma entrada).

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . No nosso caso, como estamos trabalhando com (números naturais), cada número tem um quadrado único. Por exemplo, e não tem outro número natural que, ao ser quadrado, dê 4. Então, é injetora.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Isso quer dizer que para todo em , existe algum em tal que . Mas, nem todo número real é um quadrado de um número natural. Por exemplo, não é o quadrado de nenhum número natural. Portanto, não é sobrejetora.

Passo 5

Como a função é injetora, mas não é sobrejetora, ela não é bijetora. Isso significa que a função inversa não existe para todo , mas podemos definir uma inversa parcialmente, restrita ao conjunto imagem de (ou seja, aos quadrados perfeitos dos números naturais).

Passo 6

Então, podemos definir a função inversa da seguinte maneira:
Mas é importante notar que isso só faz sentido para que são quadrados perfeitos de números naturais. Para outros valores de , a função inversa não está definida.

Resposta

Sim, é possível definir a função inversa restrita aos quadrados perfeitos. A definição da inversa é:
desde que seja um quadrado perfeito de algum número natural.

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(f) .
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(d) .
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(h) .
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(j) .