As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(k)
.
(k)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma função
definida por
, onde
pode ser qualquer número real, exceto 1. O que precisamos fazer aqui é descobrir se conseguimos definir uma função inversa para essa função
. Se der, a gente também vai escrever como fica essa função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa
“desfaz” o que a função
faz. Se aplicarmos
e depois
, a gente volta ao ponto de partida.
Passo 3
Para encontrar a função inversa, a gente começa assumindo que
. Então, temos:
Agora, queremos expressar
em termos de
, ou seja, resolver essa equação para
.
Passo 4
Vamos multiplicar os dois lados da equação por
para eliminar a fração:
Distribuindo o
na expressão:
Passo 5
Agora, vamos isolar o termo que contém
. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por
(lembrando que
não pode ser zero, já que não daria pra dividir por zero):
Simplificando a expressão:
Passo 6
Então, a função inversa
é aquela que recebe
e retorna
. Mas precisamos também considerar o domínio dessa função inversa. Como não podemos dividir por zero,
não pode ser zero. Além disso, a função original não pode ter
, o que está de acordo com a nossa inversa.
Resposta
Sim, é possível definir a função inversa. A função inversa de
é dada por:
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As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(i) .
(i)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(j) .
(j)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(l) .
(l)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(n) .
(n)