As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(k) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente tem uma função definida por , onde pode ser qualquer número real, exceto 1. O que precisamos fazer aqui é descobrir se conseguimos definir uma função inversa para essa função . Se der, a gente também vai escrever como fica essa função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa “desfaz” o que a função faz. Se aplicarmos e depois , a gente volta ao ponto de partida.

Passo 3

Para encontrar a função inversa, a gente começa assumindo que . Então, temos:
Agora, queremos expressar em termos de , ou seja, resolver essa equação para .

Passo 4

Vamos multiplicar os dois lados da equação por para eliminar a fração:
Distribuindo o na expressão:

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo que contém . Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por (lembrando que não pode ser zero, já que não daria pra dividir por zero):
Simplificando a expressão:

Passo 6

Então, a função inversa é aquela que recebe e retorna . Mas precisamos também considerar o domínio dessa função inversa. Como não podemos dividir por zero, não pode ser zero. Além disso, a função original não pode ter , o que está de acordo com a nossa inversa.

Resposta

Sim, é possível definir a função inversa. A função inversa de é dada por:

Exercícios relacionados

As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(i) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(j) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(l) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(n) .