As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa f^-1 e em caso afirmativo escreva a definição.
(o) f: N Z, f(n)=ll(n-1) / 2 & , n ímpar -n / 2 & , n par í.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função que vai dos números naturais ( ) para os inteiros ( ). Precisamos ver se dá pra definir uma função inversa , ou seja, se conseguimos “desfazer” a função . Para isso, vamos precisar entender sobre funções injetoras e sobrejetoras.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(n) = n - 12 & se n é ímpar -n2 & se n é par é injetora. Uma função é injetora se números diferentes no domínio (aqui, os naturais) resultam em números diferentes na imagem (os inteiros). Olhando a definição da :
éíé
Para ímpar e par, as fórmulas são diferentes, então não há como dois valores diferentes de darem o mesmo resultado de . Assim, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se f(n) = (2z + 1) - 12 = 2z2 = z é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( f(n) = --2z2 = z ) tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Vamos dividir em dois casos:
  1. Inteiros não negativos ( ): Para qualquer , podemos escolher que é ímpar. Aplicando na função:
  2. Inteiros negativos ( ): Para qualquer , escolhemos que é par. Aplicando na função:
Assim, todo inteiro tem um correspondente, então é sobrejetora.

Passo 4

Como n = 2z + 1 é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e, portanto, tem uma função inversa n = -2z . Vamos definir separando os casos de :
  • Para :
    Sabemos que , então resolvendo para :
  • Para :
    Aqui, , então resolvendo para :

Resposta

A função inversa f^-1(z) = 2z + 1 & se z >= 0 -2z & se z < 0 está definida por:

Exercícios relacionados