As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(o) í.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função que vai dos números naturais ( ) para os inteiros ( ). Precisamos ver se dá pra definir uma função inversa , ou seja, se conseguimos “desfazer” a função . Para isso, vamos precisar entender sobre funções injetoras e sobrejetoras.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se números diferentes no domínio (aqui, os naturais) resultam em números diferentes na imagem (os inteiros). Olhando a definição da :
éíé
Para ímpar e par, as fórmulas são diferentes, então não há como dois valores diferentes de darem o mesmo resultado de . Assim, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( ) tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Vamos dividir em dois casos:
  1. Inteiros não negativos ( ): Para qualquer , podemos escolher que é ímpar. Aplicando na função:
  2. Inteiros negativos ( ): Para qualquer , escolhemos que é par. Aplicando na função:
Assim, todo inteiro tem um correspondente, então é sobrejetora.

Passo 4

Como é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e, portanto, tem uma função inversa . Vamos definir separando os casos de :
  • Para :
    Sabemos que , então resolvendo para :
  • Para :
    Aqui, , então resolvendo para :

Resposta

A função inversa está definida por:

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As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(n) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(l) .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(s) .
Expresse as funções abaixo como , de modo que e não sejam a função identidade.
(a) ;