As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(o)
.
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função
que vai dos números naturais (
) para os inteiros (
). Precisamos ver se dá pra definir uma função inversa
, ou seja, se conseguimos “desfazer” a função
. Para isso, vamos precisar entender sobre funções injetoras e sobrejetoras.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se números diferentes no domínio (aqui, os naturais) resultam em números diferentes na imagem (os inteiros). Olhando a definição da
:
Para
ímpar e
par, as fórmulas são diferentes, então não há como dois valores diferentes de
darem o mesmo resultado de
. Assim,
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
) tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Vamos dividir em dois casos:
-
Inteiros não negativos (
): Para qualquer , podemos escolher que é ímpar. Aplicando na função: -
Inteiros negativos (
): Para qualquer , escolhemos que é par. Aplicando na função:
Assim, todo inteiro
tem um
correspondente, então
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e, portanto, tem uma função inversa
. Vamos definir
separando os casos de
:
-
Para
: Sabemos que, então resolvendo para : -
Para
: Aqui,, então resolvendo para :
Resposta
A função inversa
está definida por:
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As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(n) .
(n)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(l) .
(l)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(s) .
(s)
Expresse as funções
abaixo como
, de modo que
e
não sejam a função identidade.
(a) ;
(a)