As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(s)
.
(s)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar se a função
, definida por
, tem uma função inversa. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e as condições para que ela exista.
Passo 2
Primeiro, uma função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Se você tem uma função
que leva
a algum valor, a inversa
deveria levar esse valor de volta para
.
Passo 3
Agora, olha só: a função
está pegando dois números reais
e
e transformando em apenas um número real. Então, estamos indo de um espaço com duas dimensões (
) para um espaço com uma dimensão (
).
Passo 4
Para que uma função tenha inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Mas aqui já tem um problema: estamos indo de duas dimensões para uma. Isso significa que várias combinações de
e
podem resultar no mesmo valor de
.
Passo 5
Por exemplo, se escolhermos
e
, temos
. Agora, se escolhermos
e
, também teremos
. Viu só? Diferentes pares
podem dar o mesmo resultado, o que significa que a função não é injetora.
Passo 6
Além disso, como a função está reduzindo a dimensão, não temos como “recuperar” ambos os valores de
e
a partir de um único número. Por isso, não conseguimos definir uma inversa que volte de
para
.
Resposta
Não, a função
não possui uma função inversa.
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As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(o) .
(o)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(n) .
(n)
Expresse as funções
abaixo como
, de modo que
e
não sejam a função identidade.
(a) ;
(a)
Expresse as funções
abaixo como
, de modo que
e
não sejam a função identidade.
(f) .
(f)