Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. Precisamos descobrir se essa função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e se é sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos por pelo menos um elemento do domínio).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
.
Suponha que
:
Isso implica que
. Porém, diferentes pares
podem satisfazer essa equação. Por exemplo,
e
, mas
. Portanto, a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Para qualquer número real
, podemos escolher
e
. Então:
Isso mostra que para todo
, existe um par
que mapeia para
. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, pois diferentes pares
podem resultar no mesmo valor de
. No entanto, ela é sobrejetora, já que todo número real
pode ser obtido escolhendo
e
.
Exercícios relacionados
Resolva em
as equações e as inequações abaixo:
(b) ;
(b)
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(e) Se então
.
(e) Se
Considerando os subconjuntos da reta real
e
.
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)