Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(d) .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . Precisamos descobrir se essa função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e se é sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos por pelo menos um elemento do domínio).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então .
Suponha que :
Isso implica que . Porém, diferentes pares podem satisfazer essa equação. Por exemplo, e , mas . Portanto, a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo , existe pelo menos um tal que .
Para qualquer número real , podemos escolher e . Então:
Isso mostra que para todo , existe um par que mapeia para . Portanto, a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, pois diferentes pares podem resultar no mesmo valor de . No entanto, ela é sobrejetora, já que todo número real pode ser obtido escolhendo e .

Exercícios relacionados

Resolva em as equações e as inequações abaixo:
(b) ;
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(e) Se então .
Considerando os subconjuntos da reta real e .
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)