Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente descobrir se a função dada é injetora e/ou sobrejetora. A função em questão é definida por . Vamos precisar entender o que significa ser injetora e sobrejetora pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio. Ou seja, se , então necessariamente .
No nosso caso, . Vamos ver se isso é injetora:
Se pegarmos e , temos:

Aqui, dois valores diferentes no domínio ( e ) dão o mesmo resultado ( ) no contradomínio. Então, a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo em , existe pelo menos um em tal que .
Considerando , vamos analisar:
  • Todo número natural pode ser escrito como para algum inteiro, já que ou .
  • Porém, isso só funciona para que são quadrados perfeitos. Por exemplo, não é para nenhum inteiro .
Isso significa que nem todo número natural tem uma raiz quadrada inteira, então a função não é sobrejetora.

Resposta

A função de para não é injetora nem sobrejetora.

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Considerando os subconjuntos da reta real e .
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(d) .
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
© .
Considerando os subconjuntos da reta real e .
(b) Represente graficamente todos os conjuntos obtidos no item anterior.