Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente descobrir se a função dada é injetora e/ou sobrejetora. A função em questão é
definida por
. Vamos precisar entender o que significa ser injetora e sobrejetora pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio. Ou seja, se
, então necessariamente
.
No nosso caso,
. Vamos ver se isso é injetora:
Se pegarmos
e
, temos:
Aqui, dois valores diferentes no domínio (
e
) dão o mesmo resultado (
) no contradomínio. Então, a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Considerando
, vamos analisar:
- Todo número natural
pode ser escrito como para algum inteiro, já que ou . - Porém, isso só funciona para
que são quadrados perfeitos. Por exemplo, não é para nenhum inteiro .
Isso significa que nem todo número natural tem uma raiz quadrada inteira, então a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
de
para
não é injetora nem sobrejetora.
Exercícios relacionados
Considerando os subconjuntos da reta real
e
.
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(a) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(d) .
(d)
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
© .
©
Considerando os subconjuntos da reta real
e
.
(b) Represente graficamente todos os conjuntos obtidos no item anterior.
(b) Represente graficamente todos os conjuntos obtidos no item anterior.