Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida como onde . A matéria que vamos usar aqui é sobre funções injetoras e sobrejetoras. Vamos precisar entender o que significa cada uma delas para decidir se a função é injetora, sobrejetora ou ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, existe apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se então necessariamente .
Vamos verificar se isso é verdade para a nossa função com domínio em (números naturais):
Se assumirmos que , então . Como estamos trabalhando com números naturais (que são positivos), isso implica que . Portanto, não há dois números naturais diferentes que, ao serem elevados ao quadrado, dêem o mesmo resultado. Logo, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função em relação à ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( nesse caso) é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida ( ).
No nosso caso, o conjunto de chegada é , que inclui todos os números reais, positivos e negativos, além do zero. Mas a função só pode produzir números naturais elevados ao quadrado, ou seja, . Isso significa que números negativos e alguns positivos não podem ser obtidos através dessa função. Por exemplo, não existe nenhum número natural que satisfaça , ou mesmo .
Portanto, nem todo número real é imagem de um número natural por essa função, o que significa que a função não é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora mas não é sobrejetora.

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Considerando os subconjuntos da reta real e .
(b) Represente graficamente todos os conjuntos obtidos no item anterior.
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
© .
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(d)
Resolva em as equações e as inequações abaixo:
(a) ;