Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida como
onde
. A matéria que vamos usar aqui é sobre funções injetoras e sobrejetoras. Vamos precisar entender o que significa cada uma delas para decidir se a função
é injetora, sobrejetora ou ambas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, existe apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Vamos verificar se isso é verdade para a nossa função
com domínio em
(números naturais):
Se assumirmos que
, então
. Como estamos trabalhando com números naturais (que são positivos), isso implica que
. Portanto, não há dois números naturais diferentes que, ao serem elevados ao quadrado, dêem o mesmo resultado. Logo, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função em relação à ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
nesse caso) é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida (
).
No nosso caso, o conjunto de chegada é
, que inclui todos os números reais, positivos e negativos, além do zero. Mas a função
só pode produzir números naturais elevados ao quadrado, ou seja,
. Isso significa que números negativos e alguns positivos não podem ser obtidos através dessa função. Por exemplo, não existe nenhum número natural
que satisfaça
, ou mesmo
.
Portanto, nem todo número real é imagem de um número natural por essa função, o que significa que a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
é injetora mas não é sobrejetora.