Resolva em R as equações e as inequações abaixo:
(a) |3x + 2| = |x - 1| + 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no conjunto dos números reais. A matéria envolvida aqui são equações com valor absoluto. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa considerar os diferentes casos em que as expressões dentro dos valores absolutos podem ser positivas ou negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que significa o valor absoluto de , que é sempre positivo ou zero. Então, para resolver , vamos dividir em casos baseados nos sinais das expressões dentro dos valores absolutos.

Passo 3

Caso 1: e
Isso significa que é positivo e também é positivo. Então a equação fica:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 2:
Dividindo por 2:
Vamos verificar se esse valor satisfaz as condições do caso:
(OK)
(Não atende)
Então, esse caso não é válido.

Passo 4

Caso 2: e
Aqui, é positivo e é negativo. A equação fica:
Simplificando:
Somando em ambos os lados:
Subtraindo 2:
Dividindo por 4:
Verificando as condições:
(OK)
(OK)
Então, é uma solução válida.

Passo 5

Caso 3: e
Isso implica que é negativo e é positivo. Vamos montar a equação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Somando 2:
Dividindo por -4:
Verificando as condições:
(OK)
(Não atende)
Então, esse caso também não é válido.

Passo 6

Caso 4: e
Aqui, ambas as expressões dentro dos valores absolutos são negativas. A equação fica:
Simplificando:
Somando em ambos os lados:
Subtraindo 5:
Dividindo por 2:
Verificando as condições:
(OK)
(OK)
Então, é outra solução válida.

Resposta

As soluções para a equação são e .

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