Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
© f: A -> P(A), f(x) = {x}, para todo x em A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre a função , definida por para todo . O que precisamos descobrir é se essa função é injetora e/ou sobrejetora. Para isso, vamos entender o que significam essas propriedades e aplicar no nosso caso.

Passo 2

Injetora significa que cada elemento diferente de é mapeado para conjuntos diferentes em . Em outras palavras, se , então deve ser igual a .
No nosso caso, . Se assumirmos que , então porque conjuntos com elementos distintos são diferentes. Portanto, não existe dois elementos diferentes em que sejam mapeados para o mesmo subconjunto em . Assim, é injetora.

Passo 3

Sobrejetora quer dizer que todo elemento em (todos os subconjuntos de ) deve ser atingido por , ou seja, para cada subconjunto de , existe pelo menos um tal que .
No nosso caso, só gera subconjuntos que contêm exatamente um elemento de . Portanto, qualquer subconjunto de que tenha mais de um elemento, ou que seja vazio, não pode ser obtido através de . Isso significa que não consegue “cobrir” todos os subconjuntos de , logo, não é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora.

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