Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
©
, para todo
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre a função
, definida por
para todo
. O que precisamos descobrir é se essa função é injetora e/ou sobrejetora. Para isso, vamos entender o que significam essas propriedades e aplicar no nosso caso.
Passo 2
Injetora significa que cada elemento diferente de
é mapeado para conjuntos diferentes em
. Em outras palavras, se
, então
deve ser igual a
.
No nosso caso,
. Se assumirmos que
, então
porque conjuntos com elementos distintos são diferentes. Portanto, não existe dois elementos diferentes em
que sejam mapeados para o mesmo subconjunto em
. Assim,
é injetora.
Passo 3
Sobrejetora quer dizer que todo elemento em
(todos os subconjuntos de
) deve ser atingido por
, ou seja, para cada subconjunto
de
, existe pelo menos um
tal que
.
No nosso caso,
só gera subconjuntos que contêm exatamente um elemento de
. Portanto, qualquer subconjunto de
que tenha mais de um elemento, ou que seja vazio, não pode ser obtido através de
. Isso significa que
não consegue “cobrir” todos os subconjuntos de
, logo,
não é sobrejetora.
Resposta
A função
é injetora, mas não é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Resolva em
as equações e as inequações abaixo:
(a) ;
(a)
As afirmações abaixo são falsas, apresente um exemplo que comprove a falsidade.
(d)
(d)
Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro
limitado pelos planos
e
.
Utilize coordenadas cilíndricas para calcular