Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quais das funções listadas são transformações lineares. Transformação linear é um conceito da álgebra linear que basicamente significa que a função respeita duas regras importantes:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Então, pra cada função, a gente vai verificar se essas duas propriedades são verdadeiras. Se sim, é uma transformação linear; se não, não é.
Passo 2
a)
Vamos ver se o determinante respeita as duas regras:
- Adição: Em geral,
. Por exemplo, se e forem matrizes específicas, essa igualdade não se sustenta. - Escalar:
, onde é a ordem da matriz. Como aqui , teríamos , que não é igual a a menos que ou .
Então, o determinante não é uma transformação linear.
Passo 3
b)
Vamos checar as duas propriedades:
-
Adição: Seja
e . Então: -
Escalar: Para um escalar
:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então essa função é uma transformação linear.
Passo 4
c)
Vamos verificar:
- Adição:
- Escalar:
As duas propriedades são atendidas, então a derivada é uma transformação linear.
Passo 5
d)
Vamos testar as propriedades:
-
Adição: Seja
e . A igualdade não se mantém. -
Já não precisa checar o escalar, pois já falhou na adição.
Portanto, essa função não é uma transformação linear.
Passo 6
e)
Vamos verificar:
- Adição:
- Escalar:
As duas propriedades são satisfeitas, então a função traço é uma transformação linear.
Passo 7
f)
Vamos checar:
-
Adição:
-
Escalar: Para um escalar real
:
As duas propriedades são atendidas, então multiplicar por
é uma transformação linear.
Passo 8
g)
Vamos verificar:
-
Adição:
-
Escalar: Para um escalar real
:
As duas propriedades são satisfeitas, então essa função é uma transformação linear.
Resposta
As funções que são transformações lineares são:
- b)
- c)
- e)
- f)
- g)