Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
a) T: M2 R, T(A)=det(A).
b) T: P2(R) F(R, R), T(a x^2+b x+c)=(a+b) cos (x)-c e^x.
c) T: R[x] R[x], T(f)=d fd x.
d) T: R^2 R^2, T(a, b)=(a^2, b^2).
e) T: Mn R, T(A)=tr(A).
f) T: C C, T(z)=i z.
g) T: C R^4, T(a+i b)=(a, b, a, b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quais das funções listadas são transformações lineares. Transformação linear é um conceito da álgebra linear que basicamente significa que a função respeita duas regras importantes:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Então, pra cada função, a gente vai verificar se essas duas propriedades são verdadeiras. Se sim, é uma transformação linear; se não, não é.

Passo 2

a)
Vamos ver se o determinante respeita as duas regras:
  1. Adição: Em geral, . Por exemplo, se e forem matrizes específicas, essa igualdade não se sustenta.
  2. Escalar: , onde é a ordem da matriz. Como aqui , teríamos , que não é igual a a menos que ou .
Então, o determinante não é uma transformação linear.

Passo 3

b) T(f + g) = T((a+a')x^2 + (b+b')x + (c+c')) = ((a+a') + (b+b'))cos(x) - (c+c')e^x
Vamos checar as duas propriedades:
  1. Adição: Seja = (a+b+a'+b')cos(x) - (c+c')e^x = (a+b)cos(x) - c e^x + (a'+b')cos(x) - c'e^x = T(f) + T(g) e T(kf) = T(k a x^2 + k b x + k c) = (k a + k b)cos(x) - k c e^x = k(a + b)cos(x) - k c e^x = k T(f) . Então:
  2. Escalar: Para um escalar :
Ambas as propriedades são satisfeitas, então essa função é uma transformação linear.

Passo 4

c)
Vamos verificar:
  1. Adição:
  2. Escalar:
As duas propriedades são atendidas, então a derivada é uma transformação linear.

Passo 5

d) T((a, b) + (c, d)) = T(a + c, b + d) = ((a + c)^2, (b + d)^2)
Vamos testar as propriedades:
  1. Adição: Seja neq (a^2, b^2) + (c^2, d^2) = (a^2 + c^2, b^2 + d^2) e .
    A igualdade não se mantém.
  2. Já não precisa checar o escalar, pois já falhou na adição.
Portanto, essa função não é uma transformação linear.

Passo 6

e)
Vamos verificar:
  1. Adição:
  2. Escalar:
As duas propriedades são satisfeitas, então a função traço é uma transformação linear.

Passo 7

f) T(k z) = i(k z) = k (i z) = k T(z)
Vamos checar:
  1. Adição:
  2. Escalar: Para um escalar real :
As duas propriedades são atendidas, então multiplicar por é uma transformação linear.

Passo 8

g) T(k(a + i b)) = T(ka + i kb) = (ka, kb, ka, kb) = k(a, b, a, b) = k T(a + i b)
Vamos verificar:
  1. Adição:
  2. Escalar: Para um escalar real :
As duas propriedades são satisfeitas, então essa função é uma transformação linear.

Resposta

As funções que são transformações lineares são:
  • b)
  • c)
  • e)
  • f)
  • g)

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