Prove que toda transformação linear
é da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que qualquer transformação linear
pode ser escrita da forma:
Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e mapeamentos matriciais. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como expressá-las usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear é uma função que respeita duas propriedades:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Isso significa que a transformação pode ser completamente determinada pela sua ação nos vetores da base.
Passo 3
Vamos considerar a base padrão de
, que são os vetores
e
. Como
é linear, sabemos que qualquer vetor
pode ser escrito como
, e então:
Passo 4
Vamos chamar
e
. Isso significa que:
Passo 5
Agora, fazendo a soma componente a componente, temos:
Passo 6
Assim, mostramos que qualquer transformação linear
pode ser expressa dessa forma, utilizando os coeficientes das imagens dos vetores da base.
Resposta
Portanto, toda transformação linear
é da forma: