Prove que toda transformação linear T: R^2 R^3 é da forma
T(x, y)=(a1 x+b1 y, a2 x+b2 y, a3 x+b3 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que qualquer transformação linear T(x, y) = (a1 x + b1 y, a2 x + b2 y, a3 x + b3 y) pode ser escrita da forma:
Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e mapeamentos matriciais. Para resolver, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como expressá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear é uma função que respeita duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Isso significa que a transformação pode ser completamente determinada pela sua ação nos vetores da base.

Passo 3

Vamos considerar a base padrão de T(x, y) = xT(e1) + yT(e2) , que são os vetores e . Como é linear, sabemos que qualquer vetor pode ser escrito como , e então:

Passo 4

Vamos chamar T(x, y) = x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) e . Isso significa que:

Passo 5

Agora, fazendo a soma componente a componente, temos:
T(x, y) = (a1x + b1y, a2x + b2y, a3x + b3y)

Passo 6

Assim, mostramos que qualquer transformação linear pode ser expressa dessa forma, utilizando os coeficientes das imagens dos vetores da base.

Resposta

Portanto, toda transformação linear T(x, y) = (a1 x + b1 y, a2 x + b2 y, a3 x + b3 y) é da forma:

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