Sejam
e
conjuntos finitos de vetores de um espaço vetorial
. Verdadeiro ou falso? Justifique:
a) Se
e
são LD, então
é LD.
b) Se
e
são LD, então
é LD.
c) Se
e
são LI, então
é LI.
d) Se
e
são LI, então
é LI.
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício de Álgebra Linear. A questão fala sobre conjuntos de vetores e condições de Linearmente Dependentes (LD) e Linearmente Independentes (LI). Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser LD ou LI e como isso se comporta quando unimos ou intersectamos esses conjuntos.
Passo 2
a) Se
e
são LD, então
é LD.
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Agora, se
é LD, tem vetores que dependem entre si, e o mesmo vale para
. Quando unimos
e
, vamos ter todos os vetores de
e
juntos. Se já tinha dependência em
e em
, certamente na união teremos vetores que dependem uns dos outros. Portanto,
também será LD.
Passo 3
b) Se
e
são LD, então
é LD.
Aqui, precisamos pensar no que é a interseção
. Isso significa os vetores que estão tanto em
quanto em
. Mesmo que
e
sejam LD individualmente, a interseção pode ter poucos vetores. Se a interseção tiver menos de dois vetores, ela não pode ser LD porque não tem vetores suficientes para haver dependência. Assim, a afirmação é falsa.
Passo 4
c) Se
e
são LI, então
é LI.
Um conjunto é LI se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se
e
são LI separadamente, ao unir
e
, precisamos garantir que não haja combinação linear entre vetores de
e
. Mas não há garantia disso. Pode ser que um vetor de
seja combinação de vetores de
, o que tornaria
LD. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
d) Se
e
são LI, então
é LI.
Vamos ver a interseção novamente. Se
e
são LI, os vetores em comum
também devem ser LI, porque não podem depender de outros vetores. Se houver vetores na interseção, eles mantêm a independência linear. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.