Sejam A e B conjuntos finitos de vetores de um espaço vetorial V. Verdadeiro ou falso? Justifique:
a) Se A e B são LD, então A cup B é LD.
b) Se A e B são LD, então A cap B é LD.
c) Se A e B são LI, então A cup B é LI.
d) Se A e B são LI, então A cap B é LI.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício de Álgebra Linear. A questão fala sobre conjuntos de vetores e condições de Linearmente Dependentes (LD) e Linearmente Independentes (LI). Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser LD ou LI e como isso se comporta quando unimos ou intersectamos esses conjuntos.

Passo 2

a) Se e são LD, então é LD.
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Agora, se é LD, tem vetores que dependem entre si, e o mesmo vale para . Quando unimos e , vamos ter todos os vetores de e juntos. Se já tinha dependência em e em , certamente na união teremos vetores que dependem uns dos outros. Portanto, também será LD.

Passo 3

b) Se e são LD, então é LD.
Aqui, precisamos pensar no que é a interseção . Isso significa os vetores que estão tanto em quanto em . Mesmo que e sejam LD individualmente, a interseção pode ter poucos vetores. Se a interseção tiver menos de dois vetores, ela não pode ser LD porque não tem vetores suficientes para haver dependência. Assim, a afirmação é falsa.

Passo 4

c) Se e são LI, então é LI.
Um conjunto é LI se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se e são LI separadamente, ao unir e , precisamos garantir que não haja combinação linear entre vetores de e . Mas não há garantia disso. Pode ser que um vetor de seja combinação de vetores de , o que tornaria LD. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

d) Se e são LI, então é LI.
Vamos ver a interseção novamente. Se e são LI, os vetores em comum também devem ser LI, porque não podem depender de outros vetores. Se houver vetores na interseção, eles mantêm a independência linear. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.

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