Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
S: M2(R) P2(R) dada por S((lla & b c & d))=a-c+(b+d) t+2 c t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função a & b c & d , que transforma uma matriz em um polinômio , é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam duas matrizes a & b c & d e a' & b' c' & d' .
Então, a + a' & b + b' c + c' & d + d' .
Aplicando S(A + B) = (a + a') - (c + c') + [(b + b') + (d + d')]t + 2(c + c')t^2 em = (a - c) + (a' - c') + (b + d)t + (b' + d')t + 2ct^2 + 2c't^2 :
= [a - c + (b + d)t + 2ct^2] + [a' - c' + (b' + d')t + 2c't^2]
Simplificando:
= S(A) + S(B)
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar a & b c & d e uma matriz kA = ka & kb kc & kd .
Multiplicando S(kA) = (ka) - (kc) + (kb + kd)t + 2(kc)t^2 por = k(a - c) + k(b + d)t + 2kct^2 :
= k(a - c + (b + d)t + 2ct^2)
Aplicando = kS(A) em :
Simplificando:
Assim, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, ela é, de fato, uma transformação linear.

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