Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função , que transforma uma matriz em um polinômio , é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam duas matrizes e .
Então, .
Aplicando em :
Simplificando:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e uma matriz .
Multiplicando por :
Aplicando em :
Simplificando:
Assim, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, ela é, de fato, uma transformação linear.

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.
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