Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se a função
, que transforma uma matriz
em um polinômio
, é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer matrizes e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e matriz .
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam duas matrizes
e
.
Então,
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar
e uma matriz
.
Multiplicando
por
:
Aplicando
em
:
Simplificando:
Assim, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, ela é, de fato, uma transformação linear.
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traço de
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