Para as funções e , calcular e . Fornecer os domínios de e para cada operação resultante.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as operações , , e para as funções dadas:
Além disso, precisamos determinar os domínios de , e de cada operação resultante. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar, dividir funções e também trabalhar com os domínios dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função envolve uma raiz de índice 8 e uma divisão.
A raiz de índice par (como a oitava raiz) exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque está no denominador).
Portanto, está definida para .
Além disso, não pode haver divisão por zero, então , o que já está garantido pois .
Domínio de :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o domínio de .
A função é a função seno, que está definida para todos os números reais.
Domínio de :
Passo 4
Vamos calcular e determinar o domínio dessa operação.
A multiplicação de funções é simplesmente multiplicar os valores de e para cada .
Domínio de :
Devemos considerar os domínios de ambas as funções. Como está definido para e está definido para todo , o domínio da multiplicação será onde ambas as funções estão definidas.
Passo 5
Agora, vamos calcular e determinar o domínio dessa operação.
A divisão de funções é , mas precisamos garantir que para evitar divisão por zero.
Domínio de :
Devemos:
(domínio de )
A função quando , onde é qualquer inteiro.
Então, o domínio será todos os exceto os múltiplos de :
Passo 6
Agora, temos que calcular e . Pelo contexto, vamos interpretar como a composição de e , ou seja, , e como .
Composição de funções :
Domínio de :
Para que esteja definido:
(já que está dentro da raiz de índice 8)
deve estar dentro do domínio de , ou seja,
A função quando está em determinados intervalos, como , onde é qualquer inteiro.
Domínio de (ou ):
Composição de funções :
Domínio de :
Para estar definido:
deve estar definido, ou seja, .
A função seno está definida para todos os reais, então não há restrições adicionais.