Para as funções f(x) e g(x), calcular f * g, f / g, f0 * g e g0 f. Fornecer os domínios de f(x), g(x) e para cada operação resultante.
f) f(x) = 13 / raiz(8)(x), g(x) = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as operações , , e para as funções dadas:
Além disso, precisamos determinar os domínios de , e de cada operação resultante. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar, dividir funções e também trabalhar com os domínios dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função envolve uma raiz de índice 8 e uma divisão.
  • A raiz de índice par (como a oitava raiz) exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque está no denominador).
  • Portanto, está definida para .
Além disso, não pode haver divisão por zero, então , o que já está garantido pois .
Domínio de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o domínio de .
A função é a função seno, que está definida para todos os números reais.
Domínio de :

Passo 4

Vamos calcular e determinar o domínio dessa operação.
A multiplicação de funções é simplesmente multiplicar os valores de e para cada .
Domínio de :
Devemos considerar os domínios de ambas as funções. Como está definido para e está definido para todo , o domínio da multiplicação será onde ambas as funções estão definidas.

Passo 5

Agora, vamos calcular e determinar o domínio dessa operação.
A divisão de funções é , mas precisamos garantir que para evitar divisão por zero.
Domínio de :
Devemos:
  1. (domínio de )
A função quando , onde é qualquer inteiro.
Então, o domínio será todos os exceto os múltiplos de :

Passo 6

Agora, temos que calcular e . Pelo contexto, vamos interpretar como a composição de e , ou seja, , e como .
Composição de funções :
Domínio de :
Para que esteja definido:
  1. (já que está dentro da raiz de índice 8)
  2. deve estar dentro do domínio de , ou seja,
A função quando está em determinados intervalos, como , onde é qualquer inteiro.
Domínio de (ou ):
Composição de funções :
Domínio de :
Para estar definido:
  • deve estar definido, ou seja, .
A função seno está definida para todos os reais, então não há restrições adicionais.

Resposta

As operações e seus respectivos domínios são:
  1. Multiplicação :
  2. Divisão :
  3. Composição (ou ):
  4. Composição (ou ):

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Resolva.
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