As funções contínuas são aquelas em que não há descontinuidades em seu gráfico. Em outras palavras, o gráfico de uma função contínua pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, formando uma curva suave e contínua. Sobre funções contínuas, dado um intervalo fechado [a, b], analise as afirmativas a seguir:
I. Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a, b], então ela é contínua em cada ponto do intervalo.
II. Se uma função for é definida por partes, ela é considerada contínua em seu domínio.
III. Se uma função f(x) tem um ponto de descontinuidade em um intervalo [a, b], então ela não é contínua nesse intervalo.
IV. Se uma função f(x) é contínua em um ponto c, então ela é contínua em todo o intervalo que contém c.
É correto o que se afirma em:
a. II e III, apenas.
b. I, II e III, apenas.
c. I e IV, apenas.
d. II, III e IV, apenas.
e. I e III, apenas.
II. Se uma função for é definida por partes, ela é considerada contínua em seu domínio.
III. Se uma função f(x) tem um ponto de descontinuidade em um intervalo [a, b], então ela não é contínua nesse intervalo.
IV. Se uma função f(x) é contínua em um ponto c, então ela é contínua em todo o intervalo que contém c.
a. II e III, apenas.
b. I, II e III, apenas.
c. I e IV, apenas.
d. II, III e IV, apenas.
e. I e III, apenas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções contínuas. A ideia de função contínua é que seu gráfico pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, formando uma curva suave. No problema, precisamos analisar quatro afirmações sobre funções contínuas em um intervalo fechado
e identificar quais estão corretas. Para isso, vamos revisar o que significa continuidade e analisar cada afirmação com cuidado.
Passo 2
Afirmativa I: “Se uma função $ f(x) $ é contínua em um intervalo
, então ela é contínua em cada ponto do intervalo.”
Explicação: Quando dizemos que uma função é contínua em um intervalo
, isso significa que não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela dentro desse intervalo. Portanto, a função deve ser contínua em todos os pontos que estão dentro de
.
Conclusão: Afirmativa I está correta.
Passo 3
Afirmativa II: “Se uma função for é definida por partes, ela é considerada contínua em seu domínio.”
Explicação: Funções definidas por partes são aquelas que têm diferentes expressões matemáticas em diferentes intervalos do domínio. Entretanto, isso não garante que a função seja contínua em todo o domínio. Para que uma função definida por partes seja contínua, as diferentes partes devem se “encaixar” perfeitamente nos pontos de transição, sem criar descontinuidades.
Conclusão: Afirmativa II está incorreta.
Passo 4
Afirmativa III: “Se uma função $ f(x) $ tem um ponto de descontinuidade em um intervalo
, então ela não é contínua nesse intervalo.”
Explicação: Se houver pelo menos um ponto no intervalo
onde a função não é contínua, então a função inteira não é considerada contínua nesse intervalo.
Conclusão: Afirmativa III está correta.
Passo 5
Afirmativa IV: “Se uma função $ f(x) $ é contínua em um ponto $ c $, então ela é contínua em todo o intervalo que contém $ c $.”
Explicação: A continuidade em um único ponto $ c $ não implica que a função seja contínua em todo o intervalo que contém $ c $. Pode haver outros pontos no intervalo onde a função é descontínua.
Conclusão: Afirmativa IV está incorreta.
Resposta
A correta é a opção e. I e III, apenas.