Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x)=(2-x)^(3)/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e suas propriedades, como domínio, imagem, e como esboçar gráficos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos lidando. A função é uma função polinomial do terceiro grau. Funções desse tipo têm gráficos que podem ter curvas e inflexões, ao contrário das linhas retas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como não temos nenhuma divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo na nossa função, ela está definida para todos os valores reais de . Então, o domínio é:
í

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto dos possíveis valores de . Como a função é um polinômio de grau ímpar, seu gráfico vai do negativo ao positivo infinito. Isso significa que a imagem também é todos os números reais:

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico. Para isso, podemos identificar alguns pontos-chave:
  1. Intercepto com o eixo y: Quando ,
    Então, o ponto (0, 4) está no gráfico.
  2. Ponto de inflexão: Como é um polinômio de terceiro grau, provavelmente haverá um ponto onde o gráfico muda de concavidade.
  3. Comportamento nos extremos:
    • Quando tende a ,
    • Quando tende a ,
Com essas informações, podemos desenhar um gráfico que passa pelo ponto (0, 4), desce em direção ao negativo quando aumenta e sobe quando diminui, com uma curva suave.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, e a imagem também é todos os números reais. O gráfico de é uma curva polinomial de terceiro grau que passa pelo ponto (0, 4), desce para conforme aumenta e sobe para conforme diminui.

Exercícios relacionados

Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (-x + 7) / (x - 3)
Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
f(x) = 2 * x^(-3)
Sendo A = [[1, 9], [2, 1]] e B = [[0, -8], [3, -1]], calcule:
(A+B)(A-B)
Sendo A = [[1, 9], [2, 1]] e B = [[0, -8], [3, -1]], calcule:
A^2 - 2 I2 A + I2^2