Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função
e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e suas propriedades, como domínio, imagem, e como esboçar gráficos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos lidando. A função
é uma função polinomial do terceiro grau. Funções desse tipo têm gráficos que podem ter curvas e inflexões, ao contrário das linhas retas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como não temos nenhuma divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo na nossa função, ela está definida para todos os valores reais de
. Então, o domínio é:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto dos possíveis valores de
. Como a função é um polinômio de grau ímpar, seu gráfico vai do negativo ao positivo infinito. Isso significa que a imagem também é todos os números reais:
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico. Para isso, podemos identificar alguns pontos-chave:
-
Intercepto com o eixo y: Quando
, Então, o ponto (0, 4) está no gráfico. -
Ponto de inflexão: Como é um polinômio de terceiro grau, provavelmente haverá um ponto onde o gráfico muda de concavidade.
-
Comportamento nos extremos:
- Quando
tende a , - Quando
tende a ,
- Quando
Com essas informações, podemos desenhar um gráfico que passa pelo ponto (0, 4), desce em direção ao negativo quando
aumenta e sobe quando
diminui, com uma curva suave.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, e a imagem também é todos os números reais. O gráfico de
é uma curva polinomial de terceiro grau que passa pelo ponto (0, 4), desce para
conforme
aumenta e sobe para
conforme
diminui.
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Sendo
e
, calcule:
Sendo
e
, calcule: