Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função racional
. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções racionais, onde precisamos:
- Esboçar o gráfico da função.
- Determinar o maior domínio possível.
- Encontrar a imagem da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio, imagem, assíntotas e interceptos.
Passo 2
Encontrando o Domínio
O domínio de uma função racional são todos os valores de
que não tornam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos encontrar os valores de
onde o denominador
é igual a zero:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto
. Em notação de conjunto:
Passo 3
Determinando a Imagem
A imagem de uma função racional é um pouco mais complexa, mas podemos observá-la analisando o comportamento da função.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar:
Podemos dividir o numerador pelo denominador para ver se há uma assíntota oblíqua:
À medida que
se aproxima de 3, o termo
domina, fazendo
tender ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção de
.
Como não há restrições adicionais além do domínio, a imagem será todos os números reais, exceto o valor que faz
.
Então, a imagem é:
Passo 4
Esboçando o Gráfico
Para esboçar o gráfico, vamos identificar algumas características importantes:
-
Intercepto com o Eixo Y: Quando
, Então, o intercepto Y é. -
Intercepto com o Eixo X: Quando
, Então, o intercepto X é. -
Assíntotas:
- Assíntota Vertical: É dada pelo valor que faz o denominador zero, ou seja,
. - Assíntota Horizontal: Verificamos o limite quando
tende ao infinito: Então, a assíntota horizontal é .
- Assíntota Vertical: É dada pelo valor que faz o denominador zero, ou seja,
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, mostrando os interceptos, as assíntotas e o comportamento da função próximo a elas.
Resposta
O gráfico da função
tem:
- Domínio: Todos os números reais exceto
. - Imagem: Todos os números reais exceto
. - Interceptos:
- Eixo Y:
- Eixo X:
- Eixo Y:
- Assíntotas:
- Vertical:
- Horizontal:
- Vertical:
Com esses elementos, é possível esboçar o gráfico da função de forma completa.
Exercícios relacionados
Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Sendo
e
, calcule: