Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (-x + 7) / (x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função racional . A matéria envolvida aqui é o estudo de funções racionais, onde precisamos:
  • Esboçar o gráfico da função.
  • Determinar o maior domínio possível.
  • Encontrar a imagem da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio, imagem, assíntotas e interceptos.

Passo 2

Encontrando o Domínio
O domínio de uma função racional são todos os valores de que não tornam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos encontrar os valores de onde o denominador é igual a zero:
Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto . Em notação de conjunto:
í

Passo 3

Determinando a Imagem
A imagem de uma função racional é um pouco mais complexa, mas podemos observá-la analisando o comportamento da função.
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar:
Podemos dividir o numerador pelo denominador para ver se há uma assíntota oblíqua:
À medida que se aproxima de 3, o termo domina, fazendo tender ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção de .
Como não há restrições adicionais além do domínio, a imagem será todos os números reais, exceto o valor que faz .
Então, a imagem é:

Passo 4

Esboçando o Gráfico
Para esboçar o gráfico, vamos identificar algumas características importantes:
  1. Intercepto com o Eixo Y: Quando ,
    Então, o intercepto Y é .
  2. Intercepto com o Eixo X: Quando ,
    Então, o intercepto X é .
  3. Assíntotas:
    • Assíntota Vertical: É dada pelo valor que faz o denominador zero, ou seja, .
    • Assíntota Horizontal: Verificamos o limite quando tende ao infinito: Então, a assíntota horizontal é .
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, mostrando os interceptos, as assíntotas e o comportamento da função próximo a elas.

Resposta

O gráfico da função tem:
  • Domínio: Todos os números reais exceto .
  • Imagem: Todos os números reais exceto .
  • Interceptos:
    • Eixo Y:
    • Eixo X:
  • Assíntotas:
    • Vertical:
    • Horizontal:
Com esses elementos, é possível esboçar o gráfico da função de forma completa.

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f(x)=(2-x)^(3)/2
Sendo A = [[1, 9], [2, 1]] e B = [[0, -8], [3, -1]], calcule:
(A+B)(A-B)