Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 4y' + 4y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação diferencial e, depois, determinar a solução geral. Vamos precisar conhecer esse método e saber como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o :
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes arbitárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2 ( ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos expandir e simplificar:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
    Substituindo :
  3. Para o termo constante:
    Substituindo e :

Resposta

A solução particular é:
E a solução geral da equação diferencial é:

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