Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação diferencial
e, depois, determinar a solução geral. Vamos precisar conhecer esse método e saber como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o
:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2 (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Onde
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos expandir e simplificar:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
-
Para
: -
Para
: Substituindo: -
Para o termo constante:Substituindo
e :
Resposta
A solução particular é:
E a solução geral da equação diferencial é: