Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem
f(x) = -|x - 1| + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função , além de descobrir qual é o maior domínio possível e a imagem dessa função. Isso envolve entender gráficos de funções absolutas e como elas se transformam. Vamos precisar saber sobre funções absolutas, reflexões, translações e como determinar domínio e imagem de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função absoluta. A função representa o valor absoluto de , que é sempre positivo ou zero. O gráfico dessa função é um “V” centrado na origem (0,0).

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que temos: . Vamos decompor para facilitar:
  1. : Isso significa que o “V” da função absoluta está deslocado para a direita em 1 unidade.
  2. O sinal negativo na frente ( ): Isso inverte o “V”, ou seja, vira em cima do “V”, tornando a abertura para baixo.
  3. O “+ 2” no final: Isso desloca todo o gráfico 2 unidades para cima.

Passo 4

Vamos construir o gráfico passo a passo:
  1. Começamos com , que é um “V” centrado na origem.
  2. Em , o gr��fico se move 1 unidade para a direita, ficando centrado em .
  3. Com o negativo, , o “V” vira de cabeça para baixo.
  4. Finalmente, adicionamos 2, então todo o gráfico sobe 2 unidades.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, identificamos o vértice da função. O vértice ocorre onde a expressão dentro do valor absoluto é zero, ou seja, quando .
Substituindo na função:
Então, o vértice é o ponto (1, 2).
A partir do vértice, como a função está invertida, o gráfico desce em ambas as direções a partir de .

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida.
Como estamos lidando com uma função absoluta e não há divisão por zero ou radicais com índices pares, a função está definida para todos os valores de . Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 7

Para encontrar a imagem da função, que são todos os valores possíveis de , observamos que o gráfico é uma parábola invertida com vértice em (1, 2). Como o gráfico desce para ambos os lados, o valor máximo de é 2, e os valores de podem ser menores que 2.
Então, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 2.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola invertida com vértice em (1, 2). O domínio da função é (todos os números reais) e a imagem é .

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