Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função
, além de descobrir qual é o maior domínio possível e a imagem dessa função. Isso envolve entender gráficos de funções absolutas e como elas se transformam. Vamos precisar saber sobre funções absolutas, reflexões, translações e como determinar domínio e imagem de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função absoluta. A função
representa o valor absoluto de
, que é sempre positivo ou zero. O gráfico dessa função é um “V” centrado na origem (0,0).
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que temos:
. Vamos decompor para facilitar:
-
: Isso significa que o “V” da função absoluta está deslocado para a direita em 1 unidade. - O sinal negativo na frente (
): Isso inverte o “V”, ou seja, vira em cima do “V”, tornando a abertura para baixo. - O “+ 2” no final: Isso desloca todo o gráfico 2 unidades para cima.
Passo 4
Vamos construir o gráfico passo a passo:
- Começamos com
, que é um “V” centrado na origem. - Em
, o gr��fico se move 1 unidade para a direita, ficando centrado em . - Com o negativo,
, o “V” vira de cabeça para baixo. - Finalmente, adicionamos 2, então todo o gráfico sobe 2 unidades.
Passo 5
Para desenhar o gráfico, identificamos o vértice da função. O vértice ocorre onde a expressão dentro do valor absoluto é zero, ou seja, quando
→
.
Substituindo
na função:
Então, o vértice é o ponto (1, 2).
A partir do vértice, como a função está invertida, o gráfico desce em ambas as direções a partir de
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como estamos lidando com uma função absoluta e não há divisão por zero ou radicais com índices pares, a função
está definida para todos os valores de
. Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 7
Para encontrar a imagem da função, que são todos os valores possíveis de
, observamos que o gráfico é uma parábola invertida com vértice em (1, 2). Como o gráfico desce para ambos os lados, o valor máximo de
é 2, e os valores de
podem ser menores que 2.
Então, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 2.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola invertida com vértice em (1, 2). O domínio da função é
(todos os números reais) e a imagem é
.