Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
, identificar suas raízes reais, e determinar o maior domínio possível e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, gráficos e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Isso significa resolver a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos simplificar substituindo
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática em
. Podemos multiplicar os dois lados por -1 para facilitar:
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Como o discriminante
, há uma única raiz real dupla:
Passo 6
Lembrando que
, então:
Portanto, as raízes reais são
e
.
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio da função. Como estamos lidando com um polinômio de quarto grau, a função está definida para todo número real. Então, o domínio é:
Passo 8
Para achar a imagem da função, vamos analisar seu comportamento. A função
é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo, então, para
indo para
,
tende a
.
Para encontrar o máximo da função, derivamos
:
Igualando a zero:
Calculando
:
E
:
Portanto, o valor máximo da função é 0, e ela vai até
. Logo, a imagem é:
Resposta
As raízes reais são
e
. O maior domínio possível é
e a imagem da função é
.
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Sendo
e
, determine
.
Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem
Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
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