Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
f(x) = -x^4 + 8x^2 - 16

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função , identificar suas raízes reais, e determinar o maior domínio possível e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais, gráficos e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso significa resolver a equação:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos simplificar substituindo . Assim, a equação fica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática em . Podemos multiplicar os dois lados por -1 para facilitar:

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Como o discriminante , há uma única raiz real dupla:

Passo 6

Lembrando que , então:
Portanto, as raízes reais são e .

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio da função. Como estamos lidando com um polinômio de quarto grau, a função está definida para todo número real. Então, o domínio é:
í

Passo 8

Para achar a imagem da função, vamos analisar seu comportamento. A função é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo, então, para indo para , tende a .
Para encontrar o máximo da função, derivamos :
Igualando a zero:
Calculando :
E :
Portanto, o valor máximo da função é 0, e ela vai até . Logo, a imagem é:

Resposta

As raízes reais são e . O maior domínio possível é e a imagem da função é .

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