Se as funções e são tais que é injetora, então é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas funções, e , e que a composição é injetora. Nosso objetivo é mostrar que também é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como a composição de funções funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Isso significa que elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a composição . A função significa que primeiro aplicamos e depois . Se é injetora, então, se , devemos ter .

Passo 4

Vamos usar a definição de composição:
Então, se e é injetora, temos que .

Passo 5

Queremos mostrar que é injetora. Ou seja, se , então . Para isso, vamos assumir que e ver o que acontece.

Passo 6

Se , aplicando em ambos os lados, temos:
Ou seja,

Passo 7

Como é injetora, pela definição, se , então .

Passo 8

Portanto, se leva a , isso significa que é injetora.

Resposta

Assim, demonstramos que se a composição é injetora, então a função também deve ser injetora.

Exercícios relacionados

Encontre a área do triângulo cujos vértices são
Mostre que: .
Suponha que as funções e são inversíveis. Mos tre que é inversível e que
Água para resfriamento de perfuratrizes de rocha é bombeada de um reservatório para um canteiro de obras, usando o sistema de tubos mostrado. A vazão deve ser de e a água deve deixar o bocal de resfriamento (spray) a . Calcule a mínima pressão necessária na saída da bomba. Estime a potência de acionamento requerida, sendo a eficiência da bomba de 70%.