Se as funções
e
são tais que
é injetora, então
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas funções,
e
, e que a composição
é injetora. Nosso objetivo é mostrar que
também é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como a composição de funções funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Isso significa que elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a composição
. A função
significa que primeiro aplicamos
e depois
. Se
é injetora, então, se
, devemos ter
.
Passo 4
Vamos usar a definição de composição:
Então, se
e
é injetora, temos que
.
Passo 5
Queremos mostrar que
é injetora. Ou seja, se
, então
. Para isso, vamos assumir que
e ver o que acontece.
Passo 6
Se
, aplicando
em ambos os lados, temos:
Ou seja,
Passo 7
Como
é injetora, pela definição, se
, então
.
Passo 8
Portanto, se
leva a
, isso significa que
é injetora.
Resposta
Assim, demonstramos que se a composição
é injetora, então a função
também deve ser injetora.
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Mostre que:
.
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e
são inversíveis. Mos tre que
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