Se as funções f: A B e g: B A são tais que g circ f é injetora, então f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas funções, e , e que a composição é injetora. Nosso objetivo é mostrar que também é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como a composição de funções funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Isso significa que elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a composição . A função significa que primeiro aplicamos e depois . Se é injetora, então, se , devemos ter .

Passo 4

Vamos usar a definição de composição:
(g circ f)(x) = g(f(x))
Então, se e é injetora, temos que .

Passo 5

Queremos mostrar que é injetora. Ou seja, se , então . Para isso, vamos assumir que e ver o que acontece.

Passo 6

Se g(f(x1)) = g(f(x2)) , aplicando (g circ f)(x1) = (g circ f)(x2) em ambos os lados, temos:
Ou seja,

Passo 7

Como é injetora, pela definição, se , então .

Passo 8

Portanto, se leva a , isso significa que é injetora.

Resposta

Assim, demonstramos que se a composição é injetora, então a função também deve ser injetora.

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