Suponha que as funções f: A B e g: B C são inversíveis. Mos tre que g circ f é inversível e que
(g circ f)^-1=f^-1 circ g^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a composição das funções é inversível, dado que e são funções inversíveis. Isso está relacionado ao conteúdo de funções inversas e composição de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como compor funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função f circ f^-1 = idB e f^-1 circ f = idA é inversível se existe outra função tal que:
Aqui, e são as funções identidade nos conjuntos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, consideremos a composição . Queremos mostrar que esta composição também é inversível. Para isso, vamos propor uma função que possa ser a inversa de . Uma boa aposta é usar a composição das inversas de e , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar se (g circ f) circ (f^-1 circ g^-1) = g circ f circ f^-1 circ g^-1 de fato inverte g circ idB circ g^-1 = g circ g^-1 = idC . Primeiro, calculamos:
Sabemos que , então:
Isso mostra que .

Passo 5

Agora, vamos verificar o outro sentido:
(f^-1 circ g^-1) circ (g circ f) = f^-1 circ g^-1 circ g circ f
Aqui, f^-1 circ idB circ f = f^-1 circ f = idA , então:
Portanto, .

Resposta

Concluímos que (g circ f)^-1 = f^-1 circ g^-1 é uma função inversível e que sua inversa é . Ou seja:

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