Suponha que as funções
e
são inversíveis. Mos tre que
é inversível e que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a composição das funções
é inversível, dado que
e
são funções inversíveis. Isso está relacionado ao conteúdo de funções inversas e composição de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como compor funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função
é inversível se existe outra função
tal que:
Aqui,
e
são as funções identidade nos conjuntos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, consideremos a composição
. Queremos mostrar que esta composição também é inversível. Para isso, vamos propor uma função que possa ser a inversa de
. Uma boa aposta é usar a composição das inversas de
e
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos verificar se
de fato inverte
. Primeiro, calculamos:
Sabemos que
, então:
Isso mostra que
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o outro sentido:
Aqui,
, então:
Portanto,
.
Resposta
Concluímos que
é uma função inversível e que sua inversa é
. Ou seja: