Suponha que as funções
e
são inversíveis. Mos tre que
é inversível e que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a composição das funções
é inversível, dado que
e
são funções inversíveis. Isso está relacionado ao conteúdo de funções inversas e composição de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como compor funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função
é inversível se existe outra função
tal que:
Aqui,
e
são as funções identidade nos conjuntos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, consideremos a composição
. Queremos mostrar que esta composição também é inversível. Para isso, vamos propor uma função que possa ser a inversa de
. Uma boa aposta é usar a composição das inversas de
e
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos verificar se
de fato inverte
. Primeiro, calculamos:
Sabemos que
, então:
Isso mostra que
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o outro sentido:
Aqui,
, então:
Portanto,
.
Resposta
Concluímos que
é uma função inversível e que sua inversa é
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Se as funções
e
são tais que
é injetora, então
é injetora.
Encontre a área do triângulo cujos vértices são
Água para resfriamento de perfuratrizes de rocha é bombeada de um reservatório para um canteiro de obras, usando o sistema de tubos mostrado. A vazão deve ser de
e a água deve deixar o bocal de resfriamento (spray) a
. Calcule a mínima pressão necessária na saída da bomba. Estime a potência de acionamento requerida, sendo a eficiência da bomba de 70%.
Um poço com paredes verticais e água no fundo ressoa em
e em nenhuma outra frequência mais baixa. (A parte do poço cheia de ar se comporta como um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta). O ar no interior do poço tem uma massa específica de
e um módulo de elasticidade volumétrico de
. A qual profundidade está a superfície da água? (R.
)