As funções e são iguais quando e, além disso, . Em cada caso, decida se e são iguais ou não.
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre quando duas funções são iguais. Para duas funções e serem iguais, têm que ter o mesmo domínio ( ), o mesmo contradomínio ( ) e, para todos os valores de no domínio, tem que ser igual a .
No caso, temos:
Vamos descobrir se essas funções são iguais seguindo esses critérios!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de :
Sabemos que quando multiplicamos duas raízes quadradas com o mesmo índice (nesse caso, ambos são raízes quadradas, ou seja, índice 2), podemos multiplicar os radicandos:
Agora, olhamos para a expressão de :
Perceba que, após simplificar, . Então, nessa parte, as expressões das funções são iguais.

Passo 3

Agora, precisamos verificar os domínios das funções, porque para elas serem iguais, não só as expressões precisam ser iguais, mas também os conjuntos de valores que pode assumir.
Para , dentro de cada raiz quadrada, o radicando tem que ser maior ou igual a zero:
  1. (para )
  2. (para )
Então, para , o domínio é (porque precisa satisfazer ambas as condições).
Para , o radicando também precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
As soluções são ou .
Então, o domínio de é ou .

Passo 4

Comparando os domínios:
  • Dominio de :
  • Domínio de : ou
Percebemos que o domínio de inclui valores de que não estão no domínio de (especificamente, ).

Passo 5

Mesmo que e tenham a mesma expressão para , os domínios são diferentes. Para duas funções serem iguais, os domínios também precisam ser iguais. Como isso não acontece aqui, as funções e NÃO são iguais.

Resposta

As funções e não são iguais porque, apesar de terem a mesma expressão para , seus domínios são diferentes.

Exercícios relacionados

Resolva as desigualdades abaixo.
(d)
Resolva as equações abaixo.
(g)
Nos casos a seguir, verifique que para, assim, determinar a função composta .
(a) e .
Verifique se a função definida por é bijetora e determine sua inversa.