As funções
e
são iguais quando
e, além disso,
. Em cada caso, decida se
e
são iguais ou não.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre quando duas funções são iguais. Para duas funções
e
serem iguais, têm que ter o mesmo domínio (
), o mesmo contradomínio (
) e, para todos os valores de
no domínio,
tem que ser igual a
.
No caso, temos:
Vamos descobrir se essas funções são iguais seguindo esses critérios!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
:
Sabemos que quando multiplicamos duas raízes quadradas com o mesmo índice (nesse caso, ambos são raízes quadradas, ou seja, índice 2), podemos multiplicar os radicandos:
Agora, olhamos para a expressão de
:
Perceba que, após simplificar,
. Então, nessa parte, as expressões das funções são iguais.
Passo 3
Agora, precisamos verificar os domínios das funções, porque para elas serem iguais, não só as expressões precisam ser iguais, mas também os conjuntos de valores que
pode assumir.
Para
, dentro de cada raiz quadrada, o radicando tem que ser maior ou igual a zero:
-
(para ) -
→ (para )
Então, para
, o domínio é
(porque
precisa satisfazer ambas as condições).
Para
, o radicando também precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade:
As soluções são
ou
.
Então, o domínio de
é
ou
.
Passo 4
Comparando os domínios:
- Dominio de
: - Domínio de
: ou
Percebemos que o domínio de
inclui valores de
que não estão no domínio de
(especificamente,
).
Passo 5
Mesmo que
e
tenham a mesma expressão para
, os domínios são diferentes. Para duas funções serem iguais, os domínios também precisam ser iguais. Como isso não acontece aqui, as funções
e
NÃO são iguais.
Resposta
As funções
e
não são iguais porque, apesar de terem a mesma expressão para
, seus domínios são diferentes.
Exercícios relacionados
Resolva as desigualdades abaixo.
(d)
(d)
Resolva as equações abaixo.
(g)
(g)
Nos casos a seguir, verifique que
para, assim, determinar a função composta
.
(a) e
.
(a)
Verifique se a função
definida por
é bijetora e determine sua inversa.