Verifique se a função
definida por
é bijetora e determine sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a função
definida por
. O objetivo é verificar se essa função é bijetora, ou seja, se ela é injetora e sobrejetora. Além disso, vamos encontrar a inversa dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como encontrar a inversa de uma função linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Vamos supor que
:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Isso mostra que a função é injetora, pois valores diferentes de
e
não podem produzir o mesmo valor de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Dada a equação
, queremos resolver para
:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Como podemos encontrar um
para qualquer
real, a função é sobrejetora.
Passo 4
Como a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Isso significa que existe uma função inversa que “desfaz” o que
faz.
Passo 5
Para encontrar a função inversa
, começamos com a equação
e resolvemos para
:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Portanto, a função inversa é:
Resposta
A função
é bijetora e a sua inversa é
.
Exercícios relacionados
Nos casos a seguir, verifique que
para, assim, determinar a função composta
.
(a) e
.
(a)
As funções
e
são iguais quando
e, além disso,
. Em cada caso, decida se
e
são iguais ou não.
(a) e
.
(a)
Em cada caso, verifique se a função é par ou ímpar.
©
©
As funções
e
são iguais quando
e, além disso,
. Em cada caso, decida se
e
são iguais ou não.
(d) e
.
(d)