Verifique se a função definida por é bijetora e determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a função definida por . O objetivo é verificar se essa função é bijetora, ou seja, se ela é injetora e sobrejetora. Além disso, vamos encontrar a inversa dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como encontrar a inversa de uma função linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Vamos supor que :
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Isso mostra que a função é injetora, pois valores diferentes de e não podem produzir o mesmo valor de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo em , existe pelo menos um em tal que .
Dada a equação , queremos resolver para :
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Como podemos encontrar um para qualquer real, a função é sobrejetora.

Passo 4

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Isso significa que existe uma função inversa que “desfaz” o que faz.

Passo 5

Para encontrar a função inversa , começamos com a equação e resolvemos para :
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Portanto, a função inversa é:

Resposta

A função é bijetora e a sua inversa é .

Exercícios relacionados

Nos casos a seguir, verifique que para, assim, determinar a função composta .
(a) e .
As funções e são iguais quando e, além disso, . Em cada caso, decida se e são iguais ou não.
(a) e .
Em cada caso, verifique se a função é par ou ímpar.
©
As funções e são iguais quando e, além disso, . Em cada caso, decida se e são iguais ou não.
(d) e .