As funções
e
dadas por
e
são periódicas? São funções pares? São funções ímpares?
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício sobre duas funções trigonométricas:
e
. A gente vai verificar três coisas para cada uma delas: se são periódicas, se são funções pares e se são ímpares. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como aplicá-las nas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos regulares. Formalmente, existe um número
tal que
para todo
no domínio da função.
Passo 3
Vamos analisar se
é periódica. Suponha que exista um período
tal que
para todo
. Expandindo, temos:
Para isso ser verdade para todo
, teríamos que
seja múltiplo de
, o que não é possível para um
fixo quando
varia. Portanto,
não é periódica.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é periódica. Suponha que exista um período
tal que
para todo
. Isso implicaria que
seja múltiplo de
. Mas isso não acontece para um
fixo à medida que
varia. Assim,
também não é periódica.
Passo 5
Vamos agora verificar se as funções são pares. Uma função é par se
para todo
.
Para
:
Então,
é uma função par.
Para
:
Então,
não é par.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se as funções são ímpares. Uma função é ímpar se
para todo
.
Para
:
Então,
não é ímpar.
Para
:
Portanto,
é uma função ímpar.
Resposta
A função
não é periódica, é uma função par e não é ímpar. Já a função
não é periódica, não é par e é uma função ímpar.
Exercícios relacionados
Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde
e
.
Ex. :
Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde
e
.
Ex. :
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de
no ponto
.
(i) .
(i)
Descreva o gráfico das seguintes funções.