As funções e dadas por e são periódicas? São funções pares? São funções ímpares?

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre duas funções trigonométricas: e . A gente vai verificar três coisas para cada uma delas: se são periódicas, se são funções pares e se são ímpares. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como aplicá-las nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é periódica se ela se repete em intervalos regulares. Formalmente, existe um número tal que para todo no domínio da função.

Passo 3

Vamos analisar se é periódica. Suponha que exista um período tal que para todo . Expandindo, temos:
Para isso ser verdade para todo , teríamos que seja múltiplo de , o que não é possível para um fixo quando varia. Portanto, não é periódica.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é periódica. Suponha que exista um período tal que para todo . Isso implicaria que seja múltiplo de . Mas isso não acontece para um fixo à medida que varia. Assim, também não é periódica.

Passo 5

Vamos agora verificar se as funções são pares. Uma função é par se para todo .
Para :
Então, é uma função par.
Para :
Então, não é par.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se as funções são ímpares. Uma função é ímpar se para todo .
Para :
Então, não é ímpar.
Para :
Portanto, é uma função ímpar.

Resposta

A função não é periódica, é uma função par e não é ímpar. Já a função não é periódica, não é par e é uma função ímpar.

Exercícios relacionados

Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde e .
Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde e .
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de no ponto .
(i) .
Descreva o gráfico das seguintes funções.