Para as funções
e
.
Encontre os intervalos nos quais as funções são crescente ou decrescente.
Encontre os intervalos nos quais as funções são crescente ou decrescente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Queremos descobrir em quais intervalos essas funções estão crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Para saber onde ela está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a sua derivada
.
A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
é igual a zero para identificar pontos críticos:
Dividindo a equação por 6 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para saber onde
é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada
para ver o sinal.
Passo 6
- Intervalo
: Escolha
Então,
está crescente nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolha
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolha
Então,
está crescente nesse intervalo.
Passo 7
Agora, vamos analisar a segunda função
.
Primeiro, calculamos a derivada
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 8
Usando a regra do produto para derivadas:
Simplificando:
Passo 9
Vamos encontrar onde
:
Isso ocorre quando:
-
(mas não está definida, então ignoramos) -
Resolvendo
:
Exponenciando ambos os lados:
Passo 10
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por
para saber onde
é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada
para ver o sinal.
Passo 11
- Intervalo
: Escolha
Calculando
:
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolha
Então,
está crescente nesse intervalo.
Resposta
Função
:
- Crescente em
e - Decrescente em
Função
:
- Decrescente em
- Crescente em
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