Para as funções e .
Encontre os intervalos nos quais as funções são crescente ou decrescente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Queremos descobrir em quais intervalos essas funções estão crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para saber onde ela está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a sua derivada .
A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde é igual a zero para identificar pontos críticos:
Dividindo a equação por 6 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para saber onde é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada para ver o sinal.

Passo 6

  1. Intervalo : Escolha
Então, está crescente nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolha
Então, está decrescente nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolha
Então, está crescente nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos analisar a segunda função .
Primeiro, calculamos a derivada para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 8

Usando a regra do produto para derivadas:
Simplificando:

Passo 9

Vamos encontrar onde :
Isso ocorre quando:
  1. (mas não está definida, então ignoramos)
Resolvendo :
Exponenciando ambos os lados:

Passo 10

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por para saber onde é positiva ou negativa.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada para ver o sinal.

Passo 11

  1. Intervalo : Escolha
Calculando :
Então, está decrescente nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolha
Então, está crescente nesse intervalo.

Resposta

Função :
  • Crescente em e
  • Decrescente em
Função :
  • Decrescente em
  • Crescente em

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