lim x infty (2+5x)raiz2-5x=2-raiz2=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve frações e raízes. O exercício pede para calcular:
lim x infty (2+5x)raiz2-5x
Para isso, vamos precisar entender como limites funcionam quando vai para infinito, além de saber manipular frações e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz no denominador:
2 - 5x = -3x
Então, nossa expressão fica:
lim x infty 2 + 5xraiz-3x

Passo 3

Agora, observamos que conforme 2 + 5x approx 2 se aproxima de infinito, tende a 0. Portanto, o numerador simplifica para 2:

Passo 4

No denominador, temos raiz-3x approx 0 . Como vai para infinito, também tende a 0. Então, a raiz de um número muito pequeno tende a 0:

Passo 5

Agora, nossa expressão se aproxima de:
20
Dividir por zero indica que o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo do sinal. No denominador, temos , que é uma raiz de um número negativo, resultando em um número imaginário. No entanto, se considerarmos apenas os valores reais, percebemos que a expressão não está bem definida para tendendo a infinito positivo.

Passo 6

Entretanto, se considerarmos que a expressão original possa ter um erro de sinal e imaginar que o denominador seja positivo, então o limite seria:
20^+ = +infty
Mas como está com raiz de negativo, o limite não existe nos números reais.

Resposta

O limite não existe nos números reais, pois a expressão envolve a raiz quadrada de um número negativo quando tende ao infinito.

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