Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve frações e raízes. O exercício pede para calcular:
Para isso, vamos precisar entender como limites funcionam quando
vai para infinito, além de saber manipular frações e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz no denominador:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, observamos que conforme
se aproxima de infinito,
tende a 0. Portanto, o numerador simplifica para 2:
Passo 4
No denominador, temos
. Como
vai para infinito,
também tende a 0. Então, a raiz de um número muito pequeno tende a 0:
Passo 5
Agora, nossa expressão se aproxima de:
Dividir por zero indica que o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo do sinal. No denominador, temos
, que é uma raiz de um número negativo, resultando em um número imaginário. No entanto, se considerarmos apenas os valores reais, percebemos que a expressão não está bem definida para
tendendo a infinito positivo.
Passo 6
Entretanto, se considerarmos que a expressão original possa ter um erro de sinal e imaginar que o denominador seja positivo, então o limite seria:
Mas como está com raiz de negativo, o limite não existe nos números reais.
Resposta
O limite não existe nos números reais, pois a expressão envolve a raiz quadrada de um número negativo quando
tende ao infinito.
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