Para as funções e , calcular e . Fornecer os domínios de e para cada operação resultante.
c)
Passo 1
Vamos resolver a questão onde temos duas funções, e . O objetivo é calcular as operações , , e , além de determinar os domínios de cada função e das operações resultantes. Para isso, vamos precisar entender conceitos como multiplicação e divisão de funções, composição de funções, e como encontrar o domínio dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que significa multiplicar as duas funções:
Lembrando que , então podemos reescrever:
Utilizando as propriedades das potências, somamos os expoentes:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é a divisão das duas funções:
Novamente, escrevendo em potências:
Então:
Passo 4
Vamos agora encontrar a composição , que significa aplicar primeiro e depois :
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Por último, vamos calcular a composição , que é aplicar primeiro e depois :
Simplificando a raiz cúbica:
Então:
Passo 6
Agora, vamos determinar os domínios de cada função e das operações resultantes.
Domínio de : Como é um polinômio, seu domínio é todos os números reais, ou seja, .
Domínio de : A raiz cúbica está definida para todos os reais, mas a função tem uma divisão por zero quando . Portanto, o domínio de é .
Para as operações:
Domínio de e : Ambos exigem que esteja definido, então . Além disso, para , , mas já que , isso ocorre apenas em . Assim, o domínio é .
Domínio de e : Para , deve estar definido, ou seja, . Para , está definido para todo , mas está definido para . Portanto, o domínio de ambas as composições é .