As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidas por
respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular os limites das funções seno e cosseno hiperbólicos quando
vai para
. Além disso, temos que esboçar o gráfico da função
. Vamos precisar entender as definições dessas funções e como elas se comportam quando
fica muito grande ou muito pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando
tende a
. A função seno hiperbólico é dada por:
Quando
fica muito grande (
),
cresce rapidamente, enquanto
fica muito pequeno, praticamente zero. Então, podemos simplificar:
Portanto, o limite é infinito.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de quando
tende a
. Novamente, usando a definição:
Quando
fica muito negativo (
),
cresce rapidamente, enquanto
fica muito pequeno, praticamente zero. Então:
Assim, o limite é menos infinito.
Passo 4
Vamos calcular agora o limite de
quando
tende a
. A função cosseno hiperbólico é dada por:
Para
,
domina e
é quase zero:
Então, o limite é infinito.
Passo 5
Agora, vamos ver o limite de
quando
tende a
. Usando a definição:
Quando
,
cresce muito, enquanto
fica quase zero:
Logo, o limite também é infinito.
Passo 6
Por último, vamos esboçar o gráfico de
. Sabemos que
é sempre positivo e cresce exponencialmente para
. No ponto
, temos:
O gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo
, com um ponto mínimo em
e subindo rapidamente nas duas direções.
Resposta
Para
:
Para
:
O gráfico de
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, com mínimo em
e crescendo exponencialmente para
.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação sen
possui solução no intervalo
.
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo
suficientemente próximo de
exceto
).
(b) para todo
suficientemente grande.
(a)
(b)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©