As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidas por
respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular os limites das funções seno e cosseno hiperbólicos quando vai para . Além disso, temos que esboçar o gráfico da função . Vamos precisar entender as definições dessas funções e como elas se comportam quando fica muito grande ou muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a . A função seno hiperbólico é dada por:
Quando fica muito grande ( ), cresce rapidamente, enquanto fica muito pequeno, praticamente zero. Então, podemos simplificar:
Portanto, o limite é infinito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a . Novamente, usando a definição:
Quando fica muito negativo ( ), cresce rapidamente, enquanto fica muito pequeno, praticamente zero. Então:
Assim, o limite é menos infinito.

Passo 4

Vamos calcular agora o limite de quando tende a . A função cosseno hiperbólico é dada por:
Para , domina e é quase zero:
Então, o limite é infinito.

Passo 5

Agora, vamos ver o limite de quando tende a . Usando a definição:
Quando , cresce muito, enquanto fica quase zero:
Logo, o limite também é infinito.

Passo 6

Por último, vamos esboçar o gráfico de . Sabemos que é sempre positivo e cresce exponencialmente para . No ponto , temos:
O gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo , com um ponto mínimo em e subindo rapidamente nas duas direções.

Resposta

Para :
Para :
O gráfico de é uma curva simétrica em relação ao eixo , com mínimo em e crescendo exponencialmente para .

Exercícios relacionados

Mostre que a equação sen possui solução no intervalo .
Use limites para provar que as seguintes desigualdades são válidas:
(a) para todo suficientemente próximo de exceto ).
(b) para todo suficientemente grande.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .