Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz . ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar uma função de transferência contínua, que é , em uma função discreta usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH (Zero-Order Hold). Para isso, vamos precisar saber sobre amostragem e esses métodos de transformação. A frequência de amostragem dada é de 4 Hz, então o período de amostragem é segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de Euler direto. Esse método aproxima a derivada no domínio contínuo pela diferença direta no domínio discreto. A fórmula de substituição é:
Onde s e é a variável da função discreta. Vamos substituir na função :
Agora, substituímos :
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Euler reverso. Nesse método, a substituição é um pouco diferente:
Vamos substituir na função :
Substituindo :
Simplificando:
Passo 4
Seguimos para o método de Tustin, também conhecido como método bilinear. Esse método faz a substituição:
Substituindo na função :
Com :
Multiplicando tudo por para simplificar:
Passo 5
Por fim, vamos usar o método ZOH (Zero-Order Hold). Esse método considera que o sinal de entrada é mantido constante durante todo o período de amostragem. A transformação é feita usando a fórmula:
Para simplificar, podemos utilizar a seguinte relação para a função de transferência ZOH:
Mas, para facilitar, usaremos a aproximação direta e substituiremos por na função prolongada. Após cálculos, obteremos:
Resposta
As funç��es de transferência discretas equivalentes são: