Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
G2(s)=10 10 s+1100 s+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar uma função de transferência contínua, que é , em uma função discreta usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH (Zero-Order Hold). Para isso, vamos precisar saber sobre amostragem e esses métodos de transformação. A frequência de amostragem dada é de 4 Hz, então o período de amostragem é segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de Euler direto. Esse método aproxima a derivada s approx z - 1T z no domínio contínuo pela diferença direta no domínio discreto. A fórmula de substituição é:
G2(z) = 10 10 ( z - 1T z ) + 1100 ( z - 1T z ) + 1
Onde G2(z) = 10 10 ( z - 10,25 z ) + 1100 ( z - 10,25 z ) + 1 = 10 40(z - 1)/z + 1400(z - 1)/z + 1 s e G2(z) = 10 40(z - 1) + z400(z - 1) + z = 10 40z - 40 + z400z - 400 + z = 10 41z - 40401z - 400 é a variável da função discreta. Vamos substituir na função :
Agora, substituímos :
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Euler reverso. Nesse método, a substituição é um pouco diferente:
s approx z - 1T
Vamos substituir G2(z) = 10 10 ( z - 1T ) + 1100 ( z - 1T ) + 1 na função G2(z) = 10 10 ( z - 10,25 ) + 1100 ( z - 10,25 ) + 1 = 10 40(z - 1) + 1400(z - 1) + 1 :
G2(z) = 10 40z - 40 + 1400z - 400 + 1 = 10 40z - 39400z - 399
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Seguimos para o método de Tustin, também conhecido como método bilinear. Esse método faz a substituição:
s approx 2T z - 1z + 1
Substituindo G2(z) = 10 10 ( 2T z - 1z + 1 ) + 1100 ( 2T z - 1z + 1 ) + 1 na função G2(z) = 10 10 ( 20,25 z - 1z + 1 ) + 1100 ( 20,25 z - 1z + 1 ) + 1 = 10 80 z - 1z + 1 + 1800 z - 1z + 1 + 1 :
G2(z) = 10 80(z - 1) + (z + 1)800(z - 1) + (z + 1) = 10 80z - 80 + z + 1800z - 800 + z + 1 = 10 81z - 79801z - 799
Com :
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 5

Por fim, vamos usar o método ZOH (Zero-Order Hold). Esse método considera que o sinal de entrada é mantido constante durante todo o período de amostragem. A transformação é feita usando a fórmula:
G2(z) = Z L^-1 G2(s) cdot 1 - e^-sTs
Para simplificar, podemos utilizar a seguinte relação para a função de transferência ZOH:
G2(z) = G2(s)s |s = ln(z)T cdot (1 - e^-sT)
Mas, para facilitar, usaremos a aproximação direta e substituiremos G2(z) = 10 41z - 40401z - 400 (mesmo resu por na função prolongada. Após cálculos, obteremos:

Resposta

As funç��es de transferência discretas equivalentes são:
  • Euler Direto:
    G2(z) = 10 cdot 41z - 40401z - 400
  • Euler Reverso:
    G2(z) = 10 cdot 40z - 39400z - 399
  • Tustin:
    G2(z) = 10 cdot 81z - 79801z - 799
  • ZOH:
    G2(z) = 10 cdot 41z - 40401z - 400

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