As funções trigonométricas hiperbólicas são
a. Obtenha as expressões
b. Calcule a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções trigonométricas hiperbólicas. A gente precisa fazer duas coisas aqui:
- Parte a: Encontrar as expressões para
e . - Parte b: Calcular a derivada de
.
Para isso, vamos usar as definições e propriedades das funções hiperbólicas, além de algumas regras de derivação.
Passo 2
Vamos começar pela parte a. Primeiro, vamos encontrar a expressão para
.
Sabemos que a função
é definida como:
Queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, vamos usar a fórmula da soma para a tangente hiperbólica, que é semelhante à da tangente comum:
Essa fórmula é útil porque nos permite somar os argumentos das funções hiperbólicas de forma análoga às funções trigonométricas usuais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para
.
Primeiro, vamos substituir
por
na definição de
:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Então, a expressão para
é:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b, onde precisamos calcular a derivada de
.
Primeiro, recordamos que:
Para derivar essa função, vamos usar a regra da derivada de uma fração, também conhecida como a regra de Leibniz:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada é:
Resposta
a. As expressões são
b. A derivada de
é