As funções trigonométricas hiperbólicas são
& senh(x)=e^x-e^-x2 & cosh (x)=e^x+e^-x2 & tgh(x)=senh(x)cosh (x)
a. Obtenha as expressões
tgh(x+y)=tgh(x)+tgh(y)1+tgh(x) tgh(y) e tgh(ln x)=x^2-1x^2+1
b. Calcule a derivada de tgh(ln x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções trigonométricas hiperbólicas. A gente precisa fazer duas coisas aqui:
  • Parte a: Encontrar as expressões para e .
  • Parte b: Calcular a derivada de .
Para isso, vamos usar as definições e propriedades das funções hiperbólicas, além de algumas regras de derivação.

Passo 2

Vamos começar pela parte a. Primeiro, vamos encontrar a expressão para tgh(x) = senh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x .
Sabemos que a função tgh(x+y) = tgh(x) + tgh(y)1 + tgh(x) cdot tgh(y) é definida como:
Queremos expressar em termos de e . Para isso, vamos usar a fórmula da soma para a tangente hiperbólica, que é semelhante à da tangente comum:
Essa fórmula é útil porque nos permite somar os argumentos das funções hiperbólicas de forma análoga às funções trigonométricas usuais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para tgh(ln x) = e^ln x - e^-ln xe^ln x + e^-ln x .
Primeiro, vamos substituir tgh(ln x) = x - 1xx + 1x = x^2 - 1xx^2 + 1x = x^2 - 1x^2 + 1 por tgh(ln x) = x^2 - 1x^2 + 1 na definição de :
Sabemos que e . Substituindo esses valores:
Então, a expressão para é:

Passo 4

Agora, vamos para a parte b, onde precisamos calcular a derivada de tgh(ln x) = x^2 - 1x^2 + 1 .
Primeiro, recordamos que:
ddx(uv) = u'v - uv'v^2
Para derivar essa função, vamos usar a regra da derivada de uma fração, também conhecida como a regra de Leibniz:
u' = ddx(x^2 - 1) = 2x
Aqui, v' = ddx(x^2 + 1) = 2x e ddx(x^2 - 1x^2 + 1) = (2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)(x^2 + 1)^2 . Vamos calcular as derivadas de 2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1) = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x = 4x e 4x(x^2 + 1)^2 :
Agora, aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada é:

Resposta

a. As expressões são
tgh(x+y) = tgh(x) + tgh(y)1 + tgh(x) cdot tgh(y) e tgh(ln x) = x^2 - 1x^2 + 1
b. A derivada de 4x(x^2 + 1)^2 é

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