Usando a regra da cadeia, obtenha a derivada das funções
a.
b.
c.
a.
b.
c.
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas inversas, especificamente o arco-tangente. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a
é dada pela fórmula:
Essa fórmula é resultado direto da regra da cadeia aplicada à função inversa da tangente.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função utilizando a regra da cadeia. Aqui, estamos lidando com a função seno inversa. Precisamos entender como aplicar a regra da cadeia em funções inversas trigonométricas.
Passo 4
A derivada de em relação a
é dada por:
Essa expressão é derivada aplicando a regra da cadeia à função inversa do seno.
Passo 5
Por fim, vamos derivar a função usando a regra da cadeia. Essa função é um pouco mais complexa porque envolve uma composição de funções: a raiz quadrada e a fração dentro do arco-tangente. Precisamos quebrar isso em partes para aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 6
Vamos definir uma função intermediária para facilitar a derivação:
Então, a função original fica:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Para isso, reescrevemos
:
Usando a regra da potência e a regra da cadeia:
Calculando a derivada da fração:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A derivada de é:
Simplificando ainda mais:
Portanto:
Exercícios relacionados
As funções trigonométricas hiperbólicas são
a. Obtenha as expressões
b. Calcule a derivada de
.
Prove, por indução, que
se
.
Calcule:
(g)
(g)
Calcule:
(l)
(l)