Usando a regra da cadeia, obtenha a derivada das funções
a. f(x) = arctg(x)
b. f(x) = arcsen(x)
c. f(x) = arctg(raiz((1 - x) / (1 + x)))

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas inversas, especificamente o arco-tangente. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é dada pela fórmula:
Essa fórmula é resultado direto da regra da cadeia aplicada à função inversa da tangente.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função utilizando a regra da cadeia. Aqui, estamos lidando com a função seno inversa. Precisamos entender como aplicar a regra da cadeia em funções inversas trigonométricas.

Passo 4

A derivada de em relação a é dada por:
Essa expressão é derivada aplicando a regra da cadeia à função inversa do seno.

Passo 5

Por fim, vamos derivar a função usando a regra da cadeia. Essa função é um pouco mais complexa porque envolve uma composição de funções: a raiz quadrada e a fração dentro do arco-tangente. Precisamos quebrar isso em partes para aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 6

Vamos definir uma função intermediária para facilitar a derivação:
Então, a função original fica:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, reescrevemos :
Usando a regra da potência e a regra da cadeia:
Calculando a derivada da fração:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:
Simplificando ainda mais:
Portanto:

Exercícios relacionados

As funções trigonométricas hiperbólicas são
& senh(x)=e^x-e^-x2 & cosh (x)=e^x+e^-x2 & tgh(x)=senh(x)cosh (x)
a. Obtenha as expressões
tgh(x+y)=tgh(x)+tgh(y)1+tgh(x) tgh(y) e tgh(ln x)=x^2-1x^2+1
b. Calcule a derivada de tgh(ln x).
Prove, por indução, que 1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13) + ... + 1/((4n-3)*(4n+1)) = n/(4n+1) se n ≥ 2.
Calcule:
(g) 1/3 * e^(x^3) + k
Calcule:
(l) 5/4 ln|4x + 3| + k